Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Приложения бесконечных произведений к теории целых функций

Формула Вейерштрасса.

Одной из фундаментальных задач алгебры является вопрос о разложении целой рациональной функции на произведение линейных множителей. Рассматривая произвольную целую функцию, естественно поставить задачу об изображении этой функции в виде произведения множителей, благодаря которому становятся очевидными все нули этой функции. Частично этот вопрос рассматривал Коши, но только Вейерштрассу удалось распространить основную теорему алгебры на любые целые функции.

Пусть имеется бесконечная последовательность комплексных чисел

«

расположенных в порядке возрастания их модулей и таких, что имеем:

Если несколько из чисел (17) имеют одинаковый модуль, то мы эти числа располагаем в произвольном порядке. В силу самого определения понятия предела и условия (18) ясно, что при любом сколь угодно большом R имеется конечное число величин ап> модули которых меньше, чем R. Заметив это, мы докажем, что можно образовать целую функцию G (z), имеющую своими нулями числа ап и только эти числа.

Если несколько из чисел ап равны между собой, то нуль будет иметь кратность, равную числу этих равных между собой ak. При доказательстве вышеуказанной теоремы мы будем сначала предполагать, что среди чисел ап не имеется равных нулю.

Рассмотрим выражение:

Предполагая, что |z|<|a?|, мы можем положить:

считая In ^1 —однозначной голоморфной функцией внутри круга с центром в нулевой точке радиуса | я J и равной нулю при z = 0.

Следовательно, будем иметь:

откуда находим:

Мы теперь покажем, что бесконечное произведение

сходится во всякой точке z(z Ф aj плоскости комплексного переменного и изображает целую функцию G (z) с нулями а,, а2ап,... С этой целью докажем, что произведение (21) изображает функцию, голоморфную внутри круга С, с центром в нулевой точке радиуса | а„|, каково бы ни было V. Достаточно, очевидно, считать

Оставляя вне рассмотрения конечное число множителей

имеющих нули внутри круга Cv, мы имеем:

Наше утверждение будет доказано, если^мы покажем, что ряд

сходится при к голоморфной функции.

Каждый член ряда (23) есть функция, голоморфная внутри круга Сн. Его сумма по первой теореме Вейерштрасса (гл. V, § 1, п. 1) будет также голоморфной функцией внутри круга Cv, если ряд (23) сходится равномерно во всяком круге |г|^(1—е) | av |, где g (е>0) — сколь угодно малое число.

Действительно, при | z | ^ (1 — б) | aj имеем:

(|_

Так как числовой ряд с общим членом сходится, то ряд (23)

сходится равномерно при |г|^(1—e)|av|.

Таким образом, мы убедились, что ряд (23) изображает функцию, голоморфную внутри . круга Cv. Следовательно, произведение (21) изображает функцию, также голоморфную внутри этого круга; эта функция обращается в нуль при г = ах, а2> ..., av_t и не имеет других нулей внутри этого круга. Вспомнив, наконец, что целое число v можно взять сколь угодно большим, мы видим, что произведение (21) изображает функцию целую, имеющую нулями данные числа ап и не имеющую других нулей.

Множители называются первоначальными факторами; первоначальный фактор содержит, кроме линейного множителя (l —,

показательный фактор. Благодаря присутствию этих дополнительных показательных множителей произведение (21) оказывается сходящимся.

До сих пор мы предполагали, что среди данных чисел (17) нет равных нулю. В случае, когда z = 0 должно быть нулём порядка искомой целой функции, мы поставим перед построенным произведением (21) множитель zx. Получаемая формула

носит название формулы Вейерштрасса.

При выводе этой формулы мы предполагали лишь, что заданная последовательность чисел (17) стремится к бесконечности при неограниченном возрастании номера п. В некоторых частных случаях оказывается возможным употреблять первоначальные факторы более простого вида.

Так, предположим, что ряд с общим членом I — [Р, где р—неко-

I ап

торос постоянное натуральное число, сходится. В этом случае можно взять за иv выражение:

В самом деле, согласно предыдущему анализу вопрос сводится к тому, чтобы доказать равномерную сходимость ряда

при | z |^(1—e)|av|. Заметив неравенство

мы убеждаемся в справедливости сказанного, так как числовой ряд

по условию сходится.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>