Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Изображение мероморфной функции в виде отношения двух целых функций.

Одним из замечательных приложений формулы Вейерштрасса (1).является изображение мероморфной функции f(z) с помощью целых функций.

Пусть f(z) есть однозначная функция во всей плоскости, не имеющая на конечном расстоянии других особенностей, кроме полюсов. Мы можем образовать целую функцию G(z), имеющую своими нулями полюсы мероморфной функции /(z) с теми же степенями кратности.

Произведение G{ (z) = f (z)• G (z) будет изображать целую функцию Gl(z)y если для всякого полюса а функции f(z) положим:

Следовательно, будем иметь:

т. е. мероморфная функция f(z) может быть представлена в виде отношения двух целых функций.

Заметим, что функции G(z) и G{ (z), полученные в предыдущем пункте, не имеют общих нулей, так как при нулях функции G(z> произведение Gi(z)^=f (z)-G (z) имеет значения конечные и отличные от нуля.

Пример. Мероморфные функции tgz и ctg z могут быть представлены в виде отношений двух целых функций.

Например, можно положить:

Задача Миттаг-Леффлера.

Пусть даны особые точки (полюсы и существенно особые изолированные точки)

и соответствующая каждой особой точке ап главная часть Оя ^

я(0 есть целая функция от С1 неизвестной функции f(z). Требуется образовать однозначную во всей плоскости функцию f (z), имеющую все свои особенности в точках ап и такую, чтобы разность

была функцией, голоморфной в точке ап. В этом заключается проблема, поставленная и разрешённая Миттаг-Леффлером.

Не касаясь рассмотрения этой задачи в общем виде, отметим лишь её частный случай, непосредственно связанный с формулой Вейер- штрасса. Это будет тот случай, когда все точки ап являются простыми полюсами с вычетами, равными единице, т. е.

Образуем по формуле Вейерштрасса целую функцию G(z), имею- щую своими нулями точки ап

Взяв логарифмическую производную от G(z), получим:

Полученный ряд рациональных функций изображает мероморфную функцию f(z) с простыми полюсами в точках ап и соответствующими вычетами, равными -}-1.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>