Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Обобщение теоремы единственности аналитических функций

Возможные обобщения теоремы единственности аналитических функций.

При доказательстве теоремы единственности (гл. V, § 2, п. 4) мы предполагали, что множество Е точек области G, в которых две функции / (z) и ? (г), голоморфные в G, имеют равные значения, допускает по крайней мере одну предельную точку, лежащую внутри G. Естественно возникает вопрос: не будет ли верна эта основная теорема, если бесконечное множество Е не имеет предельных точек внутри G? Легко видеть, что в такой форме это предложение, вообще говоря, неверно. В самом деле, функция f{z) = sin j—-—

есть голоморфная внутри круга с центром в нулевой точке радиуса единица

и равная нулю на бесконечном множестве точек zk = 1 — {k = 1, 2, 3,...),

лежащих внутри этого круга. Однако sin —— не есть тождественный нуль.

1 z

Таким образом, если мы хогим распространить теорему единственности на тот случай, когда множество точек Е не имеет предельной точки внутри области G, то мы должны ограничиться рассмотрением того или иного семейства голоморфных функций. Наиболее важные семейства функций, голоморфных в области G, суть:

  • 1) семейство функций, равномерно ограниченных по модулю в области G;
  • 2) более общее семейство функций, не принимающих нигде в области G значений, образующих линии;
  • 3) семейство функций, из которых каждая даёт взаимно однозначное отображение области G.

Однако, всегда можно построить две функции, принадлежащие к семейству 1), имеющие равные значения на бесконечном множестве точек Е области G. Следовательно, желая распространить теорему единственности, мы должны, ограничиваясь рассмотрением одного из вышеуказанных семейств функций, наложить в то же время ограничение на распределение точек множества Е в области G. Так, в случае, когда G есть круг, таким ограничением может служить требование, чтобы расстояния точек множества Е до окружности этого круга образовали расходящийся ряд.

Выло доказано1), что если две функции, голоморфные внутри круга z I < 1 и принадлежащие одному из вышеупомянутых семейств, имеют

ос

равные значения на множестве точек B{zk) таких, что ряд V (1— |г* |)

k=

и v расстояний до окружности | z | = 1 расходится, то такие две функции тождественно равны между собой.

В п. 3 этого параграфа мы докажем справедливость этой теоремы для

функций семейства 1). В вышеприведённом примере sin j-- выражение

ГС ОС

^ (1 — I zk) обращается в ^ -L и представляет расходящийся ряд, однако А—1 А=1 '

для этой функции теорема единственности неверна, так как sin не будет

ограниченной функцией внутри круга | z | < 1 и вообще не принадлежит ни к одному из трёх указанных семейств.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>