Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Доказательство теоремы единственности.

Пусть две функции/(г) и ? (*), голоморфные внутри круга |*|< 1, будут равномерно ограниченными в этом круге; (/(*)|< М} I <р (г) | < Af, если | г I < 1.

Рассмотрим множество точек E{zky | zk I < 1, таких, что ряд

их расстояний до окружности |*)==1 расходится. Предположим, что во всех точках множества Е функции /(*)'и <р(*) имеют равные значения. Тогда мы докажем, что функции /(*) и ?(*) равны тождественно друг другу.

Полагая /*( г) = /(*)—?(*), мы получаем функцию F(z), голоморфную внутри круга |г|<1, равномерно ограниченную в этом круге: | F(z) < 2М, если |г|< 1, равную нулю на множестве точек Е. Наша теорема будет доказана, если мы обнаружим, что функция F(*) есть тождественный нуль.

Допуская противное, мы предположим, что функция F(z) не есть тождественный нуль. Как известно (гл. V, § 2, п. 6), множество её нулей, лежащих внутри круга |*| < 1, можно перенумеровать с помощью натуральных чисел, расположив их в порядке возрастания модулей. Мы можем считать, что последовательность точек Е {**} представляет совокупность всех нулей функции F(z)y так как от прибавления ко множеству Е новых элементов ряд (30) остаётся расходящимся.

Итак, гх, z2.....zkt... суть всевозможные нули функции F(z)t располо-

женные в порядке возрастания их модулей, причём каждый кратный нуль записывается в этой последовательности столько раз, какова его кратность. Не уменьшая общности теоремы, можно предполагать О, так как в про-

F(z)

тивном случае достаточно рассматривать Ф(г)=-—— , где >—кратность корня 0. [Для | z f < 1 имеем:

Рассмотрим окружность г = о произвольного радиуса р <Г 1, не проходящую ни через одну из точек zu z2,..z*,..и обозначим через п число точек zkt лежащих внутри этой окружности. По формуле Якоби-Иенсена (п. 2) имеем:

Так как по условию F(z)<2M при |z|< 1, то из формулы (II) вытекает неравенство:-

или, что то же,

Неравенство (31) справедливо при любом р<1 и соответствующем п. Покажем, что это неравенство останется в силе, если п будем считать постоянным, а р — сколь угодно близким к единице, т. е. обнаружим справедливость неравенства:

где 1 > pr 5s р.

Действительно, обозначая через п' число нулей zk, лежащих внутри окружности |z| = pr, перепишем (31) так:

Из неравенства (32) вытекает искомое неравенство (31'):

так как имеем:

Считая п постоянным, перейдём в неравенстве (3Г) к пределу при р, стремящемся к единице. Получим в результате:

или

Последнее неравенство справедливо при всяком п.

Следовательно, будем иметь:

00

т. е. мы доказали, что бесконечное произведение Ц zk сходится (так как

Л=1

положительные числа рп = | zl |*| г21... zn | убывают, оставаясь больше положительного постоянного) (§ 1, п. 1).

Заметив, что |гЛ| = 1 — (1 — zk), мы в силу § 1, п. 2 заключаем о схо- 00

димости ряда V(1 — гк). Полученное противоречие убеждает нас в справед- *=1

ливости теоремы.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>