Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Невозможность дальнейшего обобщения теоремы единственности для ограниченных функций.

В предыдущем пункте мы доказали теорему единственности для ограниченных функций, налагая на множество точек Е zk 00

условие: ряд — zk) расходится. Возникает вопрос: не будет ли верна

эта теорема для ограниченных функций в тех или иных случаях сходимости

со

ряда — zk I)? На этот вопрос мы ответим отрицательно, показав, что

какова бы ни была последовательность точек zh z2t(О < |-г* | <1), для 00

которой ряд 23(1 “ 1«?*|) сходится, существует функция/(г), не тождественно равная нулю, голоморфная и равномерно ограниченная внутри круга |z|

Такая функция может быть определена с помощью формулы;

Действительно, предполагая числа zlt z2t... расположенными в порядке возрастания их модулей, мы покажем сначала, что функция f(z) есть голоморфная при |-г|<|**1, равная нулю внутри круга zk лишь в точках zit z2,..., **-ь при любом k (мы вправе, очевидно, предположить I **—11 < 1**1)-

С этой целью рассмотрим произведение:

все множители которого отличны от нуля всюду внутри круга zk. Отметив неравенство:

00

мы в силу сходимости числового ряда -—=—(1 — I ^гя|) заключаем на

Zk n—k

основании § 1, п. 3, что произведение (34) сходится к функции, голоморфной и отличной от нуля при zk. Следовательно, произведение (33) будет изображать функцию f(z), голоморфную и равную нулю в точках zh z3l ..., zk-i внутри круга |л|<|.г*1. Так как zk—м при неограниченном возрастании k, то f(z) будет функцией, голоморфной внутри круга |*|< 1 и равной нулю лишь в точках Z% z2t...

Остаётся доказать, что f(z) есть функция, ограниченная при |г|< 1. Для этого оценим модуль произвольного множителя произведения (33) при I z I = 1:

Это неравенство остаётся в силе и при I z < 1 (гл. V, § 2, п. 5), так как

функция —Д- zk есть голоморфная при I г ^ 1. Следовательно, имеем: 1— zzk

f(z) | < 1, если | г | < 1.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX

1. Доказать сходимость и определить значения произведений:

Отв. 2; -i .

О

2. Разложить в бесконечные произведения функции:

ег— 1, cos z, sin z — sin z0.

Л—1 Л—1

Указание. Воспользоваться известным разложением для >inz:

Sin2 = ,n(,--fi).

Я=1

3. Доказать, что имеет место формула:

где Л (г)—целая функция. Как нужно выбирать Л (г)?

Отв. h {z) = — -г — In 2 -}- /.

4. Определить область абсолютной сходимости следующих произведений: 00

если Jcn сходится.

я=0

Отв. а) и б) | z | < 1; в) вся плоскость.

5. Функции /я(г) (п = 1, 2,.аналитические в круге |г|<г, и ряд V I /л (*) I равномерно сходится в каждом круге U | ^ р < г. Доказать, что

оо

/?(г)= П [1 + /„(*)] есть голоморфная функция при|;|<г.

/*= 1

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>