Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

§ 1. Принцип аналитического продолжения

Фиг. 95.

  • 6. Показать, что = (1 + *) (1 + *2) О + **) G + *®) • • • ПРИ Iz I < 1*
  • 7. Пользуясь задачей 6, показать, что

Понятие аналитического продолжения.

Одним из основных свойств аналитических функций является свойство их единственности, рассмотренное в гл. V. Если две аналитические функции совпадают между собою в сколь угодно малой окрестности точки или даже на сколь угодно малом куске линии, то они вполне тождественны друг другу (гл. V, § 2, п. 4). Другими словами, функция, аналитическая в области, вполне определяется в этой области посредством её значений на сколь угодно малом куске линии (или даже на бесконечном множестве точек области, имеющем по крайней мере одну предельную точку внутри области). Постараемся теперь более подробно проанализировать это основное свойство аналитических функций вместе с вытекающими из него следствиями.

Пусть нам даны две функции Д (z) и Д (z), из которых первая голоморфна в области 0 а вторая — в области G2 (фиг. 95). Допустим, кроме того, что области Gt иС2 имеют в качестве общей части некоторую область g} и пусть в области g функции Д (z) и /2 (z) совпадают. Очевидно, в этом случае функции Д (z) и Д (z) взаимно определяются вполне однозначным способом. В самом деле, вследствие теоремы единственности не существует никакой другой функции, кроме /2(z), которая была бы голоморфной в области G2 и имела бы те же значения в области g. Таким образом, функция /2(z) вполне определяется через свои значения в области g, или, что то же, через функцию Д (z); также и функция Д (z) вполне определяется посредством Д (z).,

Следовательно, мы можем сказать: если две области и 02 имеют вышеуказанное положение и функция Д (z) есть голоморфная в Gly то либо не существует никакой функции, голоморфной в G2 и совпадающей с Д (z) в области g} либо существует только одна такая функция.

В этом последнем случае мы скажем, что заданная в области Gx функция аналитически продолжается в область G2. Функция /2(z) называется аналитическим продолжением функции Д (z) в область 02.

Очевидно, также Д (z) является аналитическим продолжением функции /2(z) в область Gv. Вообще говоря, нет никаких оснований рассматривать функции Д (z) и Д {z) как различные функции. Вследствие полной однозначной определимости одной через другую естественно рассматривать обе функции как элементы одной и той же функции F(z)t которая будет голоморфной во всей области О, составленной из областей Gx и G2:

Фиг. 96.

g = gx + g2.

Поясним сказанное на примере.

Примем за О, круг с центром в нулевой точке радиуса единица:

|z|а — круг__с цен. тром в точке i радиуса у 2: z—/|<^

Y 2 (фиг. 96). Пусть в области G, дана функция:

Нужно построить функцию /о (z), голоморфную в области G , которая совпадала бы с Д (z) во всех точках области g. Мы знаем, что если такая функция существует, то она единственная. Этой функцией будет:

так как последний ряд сходится при |^—4| 1, или, что то же, при

мкг 2, и его сумма равна —.

Следовательно, имеем: /2 (z) = Д (г) во всех точках области g Таким образом, Д (z) и /2 (z) суть аналитические продолжения друг друга, обе они суть элементы одной и той же функции F(z) =

= р-!—-, голоморфной в полной области О = G j-f- G2.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>