Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X

  • 1. Продолжить аналитически в комплексную область функции действительного переменного: arctg х, arcsin х.
  • 2. Показать, что степенные ряды

не продолжаемы за круг сходимости.

3. Будет ли действительная функция F(x)-=Vxi, определённая в области — оо < дг < + оо, продолжаема в комплексную плоскость?

Отв. Нет.

4. Будет ли действительная функция /(л*), определённая при — 1 < а* < 1 посредством равенств:

)

и

продолжаема в комплексную плоскость?

Отв. Нет.

5. Пусть функция f(z) есть аналитическая в нулевой точке и удовлетворяет в окрестности этой точки уравнению:

Показать, что f(z) продолжаема на всю плоскость, fi. Какие из функций, определённых Формулами:

будут однозначными и какие многозначными?

гг

- ~Т

Отв. а) Две однозначные функции е и — е .

  • б) Двузначная функция с точками разветвления z=(2Л4-1) -j .
  • в) Две однозначные функции 4- cos г и — cos z.
  • г) Бесконечное множество однозначных функций z--2kri.
  • д) Одна бесконечнозначная функция с точками разветвления О, it я,, it 2*,. • •
  • е) Однозначная функция. ч
  • 7. Если f(z) непрерывна в области G и дифференцируема в каждой точке области G, кроме точек прямолинейного отрезка, принадлежащего О, го f(z) — аналитическая во^ всей области О.
  • 8. Две области G и С/2 примыкают друг к Другу вдоль прямолинейного отрезка. Функция f(z)— аналитическая в "области Gb /з(г)—в Gt. Если jx и /2 на отрезке принимают одни и те же граничные значения, то они являются аналитическими продолжениями друг друга.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>