Параллелограмм периодов.

Чтобы дать геометрическое истолкование двоякой периодичности, рассмотрим в плоскости комплексного переменного четыре точки:

с:итая z₀ произвольным комплексным числом.

_х со'

1ак как отношение т = — есть мнимое число, то эти четыре

точки изображают вершины некоторого параллелограма Р.

Полагая

(т и п — целые числа) мы видим, что четыре точки суть вершины параллелограма Р_тя, который может быть получен из основного параллелограма Р = Р₀₀ посредством некоторого сдвига.

Придавая т и п всевозможные целые значения, мы получим сеть параллелограмов Р_тп, конгруэнтных между собой и покрывающих всю плоскость (фиг. 100).

Чтобы любые два параллелограма нашей сети не имели общих точек, условимся причислять к каждому параллелограму Р_тп лишь

Фиг. 100.

часть его границы, а именно стороны

за исключением концов

из этих параллелограмов, Точки вида

Что же касается двух сторон паралле- лограма P_mnf мы их будем рассматривать принадлежащими к смежным параллело- грамам с Р_тп. Тогда любая точка плоскости принадлежит одному и только одному например Я_т/_Л».

где р и v—любые целые числа, называются конгруэнтными или эквивалентными с точкой z в параллелограмах P_m'-f ^ я'+у они занимают то же положение, что точка z в Р_т>_п>.

Среди этих эквивалентных точек имеется одна точка, которая принадлежит основному параллелограму Р (эта точка z — 2т'и)— — 2 л'о>^#).

Итак, мы можем сказать, что всякая точка плоскости эквивалентна единственной точке основного параллелограма Р. Будем называть параллелограмы Р_тп параллелограмами периодов; выбор среди них основного параллелограма Р, очевидно, произволен. Теперь мы можем геометрически истолковать соотношения (2). Они выражают, что функция f (z) принимает одно и то же значение во всех эквивалентных точках. Следовательно, достаточно изучить эллиптическую функцию в одном из параллелограмов, чтобы знать её поведение во всей плоскости.