Главная Математика, химия, физика
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
|
|
||||||
Параллелограмм периодов.Чтобы дать геометрическое истолкование двоякой периодичности, рассмотрим в плоскости комплексного переменного четыре точки:
с:итая z0 произвольным комплексным числом. х со' 1ак как отношение т = — есть мнимое число, то эти четыре точки изображают вершины некоторого параллелограма Р. Полагая
(т и п — целые числа) мы видим,
Придавая т и п всевозможные целые значения, мы получим сеть параллелограмов Ртп, конгруэнтных между собой и покрывающих всю плоскость (фиг. 100). Чтобы любые два параллелограма нашей сети не имели общих точек, условимся причислять к каждому параллелограму Ртп лишь ![]() Фиг. 100. часть его границы, а именно стороны ![]() за исключением концов
из этих параллелограмов, Точки вида Что же касается двух сторон паралле- лограма Pmnf мы их будем рассматривать принадлежащими к смежным параллело- грамам с Ртп. Тогда любая точка плоскости принадлежит одному и только одному например Ят/Л». ![]() где р и v—любые целые числа, называются конгруэнтными или эквивалентными с точкой z в параллелограмах Pm'-f ^ я'+у они занимают то же положение, что точка z в Рт>п>. Среди этих эквивалентных точек имеется одна точка, которая принадлежит основному параллелограму Р (эта точка z — 2т'и)— — 2 л'о>#). Итак, мы можем сказать, что всякая точка плоскости эквивалентна единственной точке основного параллелограма Р. Будем называть параллелограмы Ртп параллелограмами периодов; выбор среди них основного параллелограма Р, очевидно, произволен. Теперь мы можем геометрически истолковать соотношения (2). Они выражают, что функция f (z) принимает одно и то же значение во всех эквивалентных точках. Следовательно, достаточно изучить эллиптическую функцию в одном из параллелограмов, чтобы знать её поведение во всей плоскости. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|