Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Параллелограмм периодов.

Чтобы дать геометрическое истолкование двоякой периодичности, рассмотрим в плоскости комплексного переменного четыре точки:

с:итая z0 произвольным комплексным числом.

х со'

1ак как отношение т = — есть мнимое число, то эти четыре

точки изображают вершины некоторого параллелограма Р.

Полагая

и п — целые числа) мы видим, что четыре точки суть вершины параллелограма Ртя, который может быть получен из основного параллелограма Р = Р00 посредством некоторого сдвига.

Придавая т и п всевозможные целые значения, мы получим сеть параллелограмов Ртп, конгруэнтных между собой и покрывающих всю плоскость (фиг. 100).

Чтобы любые два параллелограма нашей сети не имели общих точек, условимся причислять к каждому параллелограму Ртп лишь

Фиг. 100.

часть его границы, а именно стороны

за исключением концов

из этих параллелограмов, Точки вида

Что же касается двух сторон паралле- лограма Pmnf мы их будем рассматривать принадлежащими к смежным параллело- грамам с Ртп. Тогда любая точка плоскости принадлежит одному и только одному например Ят/Л».

где р и v—любые целые числа, называются конгруэнтными или эквивалентными с точкой z в параллелограмах Pm'-f ^ я'+у они занимают то же положение, что точка z в Рт>п>.

Среди этих эквивалентных точек имеется одна точка, которая принадлежит основному параллелограму Р (эта точка z2т'и)— — 2 л'о>#).

Итак, мы можем сказать, что всякая точка плоскости эквивалентна единственной точке основного параллелограма Р. Будем называть параллелограмы Ртп параллелограмами периодов; выбор среди них основного параллелограма Р, очевидно, произволен. Теперь мы можем геометрически истолковать соотношения (2). Они выражают, что функция f (z) принимает одно и то же значение во всех эквивалентных точках. Следовательно, достаточно изучить эллиптическую функцию в одном из параллелограмов, чтобы знать её поведение во всей плоскости.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>