Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Лемма.

Ряд абсолютно сходится для каждого положительного кисла а большего 2.

Символы J*' и ГГ обозначают соответственно ряд и произведение, распространённые на все ш, за исключением ш = 0 (т = 0, л = 0).

Для доказательства леммы рассмотрим параллелограмы Р Р2,... , Рп,... с общим центром в точке z= 0, сторонами, параллельными векторам ш и о/ и имеющими одну из вершин соответственно в точках

На периметре параллелограма Pt лежит восемь точек wy на периметре Р2 находится шестнадцать таких точек, и вообще на периметре Рп лежит 8п точек w. Обозначая через Ь минимальное расстояние от начала координат до периметра параллелограма Pt, мы видим, что расстояние от z = 0 до периметра Рп будет пЬ. Заметив это, имеем:

откуда при а>2 вытекает сходимость ряда,, стоящего в левой части неравенства, а значит абсолютная сходимость ряда (13).

Функции

Теперь мы в состоянии построить целую функцию, имеющую нули первого порядка в точках w. Так как 1

вследствие рассмотренной леммы ряд ^ сходится, то по формуле Вейерштрасса (гл. IX, § 2, п. 1) бесконечное произведение

изображает целую функцию с простыми нулями в точках w = 2/шо -|— —J— 2/гсо/. Обозначим её, следуя Вейерштрассу, через o(z).

Таким образом, имеем:

Если мы хотим явно выразить зависимость a (z) от постоянных 2ш и 2(1)', то её следует записывать в виде а (г; 2а>, 2а/).

Соединяя в произведении (14) два множителя, относящихся к т и — w, перепишем (14) в виде:

где произведение распространено на значения w = 2/шо -{- 2/ш', соответствующие целым т w п

Из формулы (14')- усматриваем, что з(г) есть нечётная функция, т. е. v

и что a (z) есть однородная функция степени 1 относительно г, со, о)', т. е.

Из формулы (14') мы легко получаем разложение функции a(z) в степенной ряд, сходящийся во всей плоскости

откуда мы усматриваем, что

Так как ряд, полученный логарифмированием 'формулы (14), равномерно сходится во всякой конечной части плоскости, если пренебречь конечным числом его первых членов, соответствующих точкам w, лежащим в этой части плоскости, то по теореме Вейерштрасса мы можем образовать разложение логарифмической производной функции a (г), обозначаемой через C(z).

Таким образом, получаем:

Функция ?(.г) мероморфная, все полюсы которой первого порядка й находятся в точках w; в каждом из этих полюсов вычет равен 1. Из формулы (16) мы усматриваем, что при умножении z, u>, ш' на

k функция 5 умножается на т. е. С (kz 2foo, 2W) = -i*C(z; 2со, 2<о').

Таким образом, C(z; 2a><о') — однородная функция относительно z, о, со' порядка — 1.

Выражение (16) позволяет легко получить разложение функции С (z) — — в степенной ряд, радиус сходимости которого равен расстоянию от начала координат до ближайшей из точек w. Если принять во внимание, что ряд V — при а целом и нечётном равен

4^ XV3,

w .. / |

нулю, то, положив ^—п ?= "j—j , получим:

откуда, в частности, следует, что функция С (г) есть нечётная.

Разложение (16) равномерно сходится во всякой конечной части плоскости, если пренебречь конечным числом первых членов, соответствующих точкам w, лежащим в этой части плоскости, а потому оно

может быть продифференцировано почленно. Обозначая через ф (z) производную от функции С(z) с обратным знаком, получим:

Функция $> (z) есть мероморфная с полюсами второго порядка в точках w; в каждой из этих точек вычет равен нулю. Очевидно из (18), что эта функция есть чётная, т. е.

Дифференцированием ряда (17) мы получим:

причём степенной ряд (19), изображающий ^ (z)—-р , будет иметь

тот же круг сходимости, что и ряд (17), представляющий Z(z)--- .

Дифференцируя формулу (18), мы сначала образуем

что может быть переписано в виде

I

где суммирование распространено на все значения w без исключения.

Отсюда легко заключаем, что Интегрируя, имеем

наконец, полагая соответственно z = — (о, 2 =—(о# и воспользовавшись чётностью функции (z), найдём:

и, значит,

Следовательно, функция (z) есть эллиптическая . второго порядка с основными периодами 2ю и 2(о', имеющая полюсы второго порядка в точке z = 0 и во всех эквивалентных с ней точках w.

Если мы хотим явно выразить зависимость функции р (z) от периодов, то следует её обозначить через {р (z; 2u>, 2(d ).

Из формулы (18) следует:

Это соотношение показывает, что ® (z 2to, 2(0') — функция однородная порядка — 2 относительно z, о>, о/.

Производная $>'(z) функции ф (z) есть эллиптическая функция третьего порядка, с теми же периодами 2ш и 2<о', имеющая тройные полюсы в точках, конгруэнтных с z=0; в силу п. 4 § 1 она имеет три простых нуля в параллелограме периодов, а именно таковыми будут точки, конгруэнтные с со, о' и о> —|— о', т. е. все полупериоды. Как известно из того же п. 4, эллиптическая функция #> (z) второго порядка с двойным полюсом должна быть связана со своей производной соотношением:

С другой стороны, мы можем установить зависимость между (z)

и jp'(z) непосредственно, отправляясь от ряда (19). В самом деле,

откуда

где Р, есть сумма одних положительных степеней z. Аналогично находим:

где Р2 также сумма одних положительных степеней z.

Следовательно, можем написать

где Р3 — сумма одних положительных степеней z.

Левая часть последнего соотношения представляет собою эллиптическую функцию с периодами 2<о и 2ш', и, как показывает правая часть этого соотношения, эта эллиптическая функция не имеет полюсов. Следовательно, она должна быть постоянной, что возможно лишь при Р8 = 0.

Итак, имеем:

или в других обозначениях где положено

Формула (22) представляет в развёрнутом виде формулу (21). Полагая ф(г) = и, из формулы (22) заключаем: и = ф (г) есть обращение эллиптического интеграла первого рода в форме Вейер- штрасса:

Очевидно, полином, стоящий под радикалом, не имеет кратных корней, так как в противном случае интеграл (24) выражался бы в элементарных функциях. Можно показать и наоборот, что при любом выборе g2 и g3 таких, что полином, стоящий под радикалом, не имеет кратных корней, обращение интеграла (24) приводит к функции ф (z). Корни полинома 4^>3g2jfg3, стоящего в правой части (22), обозначим через е19 е2, е3; тогда формула (22) примет вид:

Сравнивая последнюю формулу с (21), находим:

Как было выше отмечено, числа elf е2, е3 различны между собою. Путём сравнения между собою двух частей формулы (25) получаем соотношения:

Функции ч (-г) и з (z) не могут иметь периодов 2<о и 2со', так как первая имеет в параллелограме периодов лишь один простой полюс, а вторая совсем не имеет полюсов. Однако, из периодичности функции $ (z) = —С' (z) следует для С свойство, аналогичное периодичности, а именно:

где т) и г/ — некоторые постоянные или, вообще,

считая т и п любыми целыми числами. Числа tj и г/ можно рассматривать, как частные значения функции С- Для этого положим в формулах (27)’ z = — о> и z = — о>', соответственно, получим:

и, пользуясь нечётностью функции С, найдём:

Последние формулы показывают, что т) и однородны относительно о, (o' измерения — 1, что следует из свойства однородности функции С. Эти числа 7) и г/ связаны с полупериодами ш и ю' замечательным соотношением, которое выводится следующим образом.

Прежде всего сдвинем немного параллелограм периодов так, чтобы полюс г = 0 оказался внутри сдвинутого параллелограма.

Обозначим вершины этого параллелограма через

на его сторонах нет полюсов функции С (

Так как вычет функции ч относительно полюса z = 0 равен 1,то, интегрируя функцию С (z) вдоль периметра нашего параллелограма, будем иметь:

где все интегрирования совершаются по прямолинейным отрезкам, соединяющим указанные точки. Объединяя первый и третий интегралы, делаем в этом последнем подстановку

и, пользуясь (27), находим:

Аналогично, объединяя второй и четвёртый интегралы соотношения (30), найдём, что их сумма равна

Внося в соотношение (30), получим:

или

Это так называемое соотношение Лежандра. Соотношения (27) можно переписать в виде:

Интегрируя, получим: или

Остаётся определить постоянные С и С'. Для этого полагаем в последних тождествах z — — ш и z = — о' и находим:

откуда, пользуясь нечётностью функции j(^), получим:

Следовательно, окончательно находим: откуда

если принять во внимание (31). Согласно формулам (32), функция 3{z) приобретает множителей показательного типа при прибавлении к аргументу чисел 2о) и 2со Функции а (2), С (-г) и $ {z) впервые были введены Вейерштрассом. Можно доказать, что всякая эллиптическая функция с периодами 2(о и 2а/ является рациональной относительно ф (z) и (z). Таким образом, совокупность рациональных функций от fc? (z) и ф'(г) представляет собою всю совокупность эллиптических функций с периодами 2ш и 2со'.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>