Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Представление эллиптической функции в виде отношения произведений элементарных множителей.

В предыдущем пункте мы получили формулу, изображающую эллиптическую функцию в виде суммы простейших элементов, которая может быть рассматриваема как аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби. Мы выведем теперь другую формулу, при помощи которой можно представить всякую эллиптическую функцию; эта формула будет аналогична представлению рациональной функции в виде дроби, числитель и знаменатель которой разложены на линейные множители.

Пусть f(z) есть эллиптическая функция, имеющая в параллело- граме периодов нули в точках а а._„ а, и полюсы в точках

р2, ..., причём эти точки могут быть различными или частично совпадающими (в случае кратных нулей или полюсов).

В силу § 1, п. 3, имеем:

Примем вместо число тогда, очевидно, будет Образуем теперь выражение

которое будет представлять мероморфную функцию с нулями в точках ак и им эквивалентных и с полюсами в точках ^ и им эквивалентных.

Покажем, что F(z) есть эллиптическая функция с основными периодами 2(о и 2а/. В самом деле, воспользовавшись свойствами функции з, выражаемыми формулами (32), имеем:

где

и, значит,

Итак, две эллиптические функции f (z) и F(z) с одними и теми же периодами имеют в параллелограме периодов одни и те же нули и полюсы, одинаковой кратности, а потому они могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем (§ 1, и. 3). Следовательно, имеем:

Постоянное С определяется либо путём задания функции / {г) в точке, не являющейся её нулём или полюсом, либо посредством

разложения в ряды левой и правой частей и отожествления соответствующих членов.

Очевидно, из доказательства вытекает, что, обратно, всякое выражение вида (37) всегда изображает эллиптическую функцию порядка s с нулями в точках at, а2,..., о* и полюсами в точках pt, j$2,...» если оц, Og,..., а5% {?,, j$2,..., — любые точки (частично совпадающие или все различные) параллелограма периодов, а

В качестве приложения выведенной формулы (37) рассмотрим функцию ^ (z)— ф (и), имеющую полюс второго порядка в точке z=:0 и нули при z = ±u. Следовательно, по формуле (37) имеем:

Чтобы определить постоянную С, рассмотрим разложения обеих частей в ряды по степеням z, а затем сравним коэффициенты при ~. Имеем:

Поэтому коэффициент при в правой части будет равен — Сз2 (и) а в левой он равен 1. Отсюда следует, что

и, значит,

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>