Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Свойства функций тэта.

Введённые в предыдущих пунктах четыре функции тэта суть целые функции независимого переменного v, причём каждая из них зависит от параметра т, являющегося комплексным числом из верхней полуплоскости. Поэтому, когда хотят явно выразить зависимость этих функций от т, их обозначают таким образом:

Как показывают тригонометрические разложения функций тэта, первая из них 0 {v) есть нечётная, а остальные 0* (v) чётные. Исходя из тригонометрических разложений функций тэта, мы непосредственно можем узнать,

как эти функции изменяются при прибавлении к аргументу v числа —;

Чтобы узнать изменения функций тэта при прибавлении к аргументу и числа будем отправляться от представления их в виде степенных рядов,

замечая, что прибавление к аргументу v числа у равносильно умножению х на q2. Таким образом, в силу (67):

т. е. вследствие (82):

где

Поступая аналогично, покажем, что

Отсюда можно получить и другие формулы преобразования. Так, например,

г. е. где

Полученные результаты запишем в виде следующей таблицы:

Чтобы определить нули функций тэта, найдём сначала таковые для функций о {г). Вспомнив, что функция 0(t/) отличается от функции а {г) множителем показательного типа, который в нуль никогда не обращается, и что нули функции о {г) будут г = 2/я» 2/1»', мы делением на 2» получим нули

функции 0 {v):

где /я, я —любые целые числа. Пользуясь первой строкой предыдущей таблицы, мы можем затем получить нули остальных функций тэта. Так, например,

/

вследствие чего нули функции 08 (р) определяются из равенства; т. е.

где /я, п — любые целые числа.

Нули функций тэта запишем в виде таблицы:

Последняя таблица показывает, что различные Функции тэта не имеют одинаковых нулей, а из пятого столбца предыдущей таблицы мы усматриваем, что функции b2(v) и 03 (и) имеют период 1, функции же Q(v) и 0l(v) имеют период 2. Отметим формулы, связывающие функцию Вейерштрасса ?(г) с функциями тэта. Как известно (§ 4):

Заменяя здесь функции сигма через функции тэта, согласно формулам (69), (74) и (85), будем иметь:

Полагая в этих формулах г===<о, т. е. t/ = y, а затем z = a>-f-u>', г. е. v = 1 . т

= — + мы получим:

л»

Пользуясь же таблицей (90), содержащей формулы приведения для функций тэта, получим:

Последние формулы можно записать в более простой форме, если воспользоваться следующим тождеством:

к доказательству которого мы сейчас перейдём.

Согласно этому тождеству, предыдущие формулы примут вид:

Обращаясь к доказательству тождества (93), предварительно выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет каждая функция тэга, если её рассматривать как функцию двух аргументов v и т.

Каждая функция тэга является целой функцией относительно v при всяком заданном числе т из верхней полуплоскости; при всяком же заданном комплексном числе v она есть голоморфная функция от т в верхней полуплоскости, что непосредственно вытекает из равномерной сходимости рядов (70), (75) и (86) при условии J^|^p< 1.

Покажем теперь, что все четыре функции тэта как функции двух цргу« ментов v и т удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка;

Проверим это уравнение, например, лля функции в8(о). Общий член ряда (86), определяющего функцию ба(о), имеет вид:

Дифференцируя его дважды по v, получим*

что совпадает с результатом, получающимся путём дифференцирования общего- члена один раз по т и умножения на 4id:

Почленное же дифференцирование ряда (86) законно, вследствие его равномерной сходимости, на основании теоремы Вейерштрасса. Аналогично можно- проверить справедливость уравнения и для остальных функций тэта. Возвращаясь теперь к доказательству тождества (93), будем отправляться от соотношения (92):

из которого мы получим, разлагая функции тэга в ряд Маклорена и используя нечётность 0 (v) и чётность б*(о):

или

Так как разложение ^)(г) в окрестности *=0 не содержит свободного- члена, то отсюда находим:

откуда

потому что

С другой стороны, уравнение (95) при t> = 0 даёт: дифференцируя же уравнение (95) по vt а затем полагая о = 0, поЛучим:

Пользуясь двумя последними соотношениями, перепишем формулу (96>

в виде:

откуда, в результате интегрирования по т, найдём:

где С —постоянная, не зависящая от т, т. е. от q. Для еб определения подставим в обе части последнего тождества разложения (76) и (87):

1

Сравнивая коэффициенты при младших членах, содержащих q4, мы получим С== it, что доказывает искомое тождество (93).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>