Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI

1. Считая <о' -? оо, to конечным и отличным от нуля, доказать следующие формулы:

2. Определитель

где и, v, w — три независимые переменные, имеет значение

У к а з а н и е. Определитель А, рассматриваемый как функция и, есть эллиптическая функция третьего порядка, имеющая тройные полюсы в точке и = 0 и ей эквивалентных точках. Нули этой функции будут в точках v, w — и им эквивалентных.

Таким образом, получим:

где С не зависит от и. Далее определяем С путём умножения обеих частей на и3 и перехода к пределу при и—?<).

Из установленной формулы следует, что при u + t/ + w = 0 определитель А есть тождественный нуль. Это даёт нам теорему сложения функции р (н).

3. Уравнения

определяют три квадратных радикала как однозначные функции от г.

Давая последовательно переменному z значения -f-a>' и <о', получим равенства

посредством которых однозначно определены значения шести квадратных радикалов. Между этими радикалами имеют место соотношения:

4. Посредством исключения ^ (г) из соотношений установить Лоомулы:

5. Получить из формулы для функций

следующие дифференциальные уравнения:

6. Установить формулы

7. Доказать, что существует линейное и однородное соотношение между функциями

Указание. Функция

есть эллиптическая с двумя простыми полюсами в параллелограме периодов. Если определить отношение постоянных А и В так, чтобы числитель обращался в нуль при z — а, наша функция будет тождественно равна постоянному.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>