ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Условия, определяющие конформное отображение

Отображение единичного круга самого на себя.

В гл. III, § .1, п. 4 мы показали, что всякое линейное преобразование обладает свойством отображать окружность в окружность. Теперь мы покажем, что это свойство характеризует линейные преобразования. Действительно, предположим, что w = f(z) есть взаимно однозначное конформное отображение, переводящее один круг в другой, и покажем, что оно будет линейным.

Прежде всего пусть L есть линейное преобразование, переводящее данный круг плоскости z в единичный круг плоскости т, a L_v — линейное преобразование, переводящее данный круг плоскости w в тот же единичный круг плоскости т. Тогда преобразование S=L{wL~^x будет отображать единичный круг плоскости т на самого себя; доказав ого линейность, мы заключим отсюда, что и преобразование

будет также линейным.

Итак, вопрос сводится к изучению характера взаимно однозначного и конформного преобразования единичного круга самого на себя.

Линейное преобразование единичного круга самого на себя, как известно из гл. Ill, § V, п. 9, будет вида:

где | а | <11 и 0 — любое действительное, число. Оно содержит три произвольных действительных параметра и следовательно, однозначно определяется по трём условиям.

Условимся называть элементоч совокупность точки и выходящего из неё направления. Если нам задан элемент, состоящий из точки я и направления — 0, выходящего из этой точки, то линейное преобразование, переводящее этот элемент в элемент, образованный из начала координат и направления положительной действительной оси, однозначно определяется формулой (1). Аналитически начальные данные могут быть записаны так:

Чтобы доказать, что преобразование (1) есть единственное взаимно однозначное и конформное преобразование единичного круга самого на себя, удовлетворяющее начальным условиям (2), достаточно показать, что взаимно однозначное и конформное отображение w=f(z) единичного круга самого на себя при начальных условиях

есть тождественное преобразование.

В самом деле, пусть w = F(z) есть взаимное однозначное и конформное отображение единичного круга самого на себя, удовлетворяющее условиям (2). Обозначая через L линейное преобразование (1), рассмотрим вспомогательное преобразование вида FL~^lt которое, очевидно, удовлетворяет условиям (3) и переводит единичный круг сам в себя. Доказав тождественность этого преобразования, мы отсюда усматриваем, что F(z) = L(z)> что и нужно.

Итак, нам остаётся показать, что взаимно однозначное и конформное отображение w = f(z) единичного круга самого на себя при условиях (3) есть тождественное.

Мы докажем справедливость следующего, более общего предложения: если функция f(z), удовлетворяющая условиям f(a) = a и /' (а) О, отображает взаимно однозначно и конформно область О, лежащую в конечной части плоскости и содержащую точку а, на самоё себя, то / (z) = z.

При доказательстве этого предложения мы можем считать, что а = О (к этому можно притти путём преобразований ?=z— а, <р(?)=/(С + а) — а, которые мы будем предполагать выполненными); кроме того, можно считать, что /'(0)^1, так как в случае /(0)<М мы могли бы вместо f(z) рассматривать её обратную функцию. Далее, заметим, что вместе с функцией f(z)=f_l(z) также все её итерации f₂ (z) = /[/(3 (z) =/[/₂ (*)]* • • • выполняют отображение области G на самоё себя, причём все время /_о(0) = 0, /'„(0)^»1.

В окрестности нулевой точки функции f(z) имеет разложение:

где v^2 и а^. Очевидно, разложение в степенной ряд функции f_n(z) будет вида:

Предположим сначала, что а^>1. Это значит, что производная /*_в(0) = а^л при достаточно большом п может быть сделана больше любого наперёд заданного числа А. Обозначим через М радиус круга с центром в начале координат, который содержит целиком область G, тогда в области G будет f_n(z) |<^М; далее, пусть р есть радиус круга с центром в нулевой точке, который целиком вместе со своей границей лежит в области G; тогда имеем (на основании гл. V, § 2, п. 8):

Так как это неравенство должно иметь место для каждого значения п и а^>1, то оно невозможно. Следовательно, остаётся допустить, что а=.

Тогда из разложения следует:

и вообще

/

м

Заметив, что n | ^ — (^гл* § 2, п. 8) и что в правой части

этого неравенства стоит число, не зависящее от л, мы видим, что ? = 0. Таким образом, /(z) нс может быть отличным от z, что и нужно было доказать.