Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Условия, определяющие единственность конформного отображения.

Пусть дана некоторая односвязная область G в плоскости комплексного переменного z. Спрашивается, существует ли такая функция w=f(z), голоморфная в области С, которая отображала бы взаимно однозначным образом область G на круг, данный в плоскости Wi

Фиг. 102.

Эта основная проблема теории конформных отображений была поставлена Риманом и в дальнейшем получила полное разрешение в утвердительном смысле (для областей, граница которых содержит более одной точки).

Допуская существование одной функции w=f(z)y мы легко замечаем, что таких функций будет бесконечное множество. Действительно, как известно, мы можем преобразовывать круг сам на себя бесконечным множеством линейных функций. Так, например, если w= f{z) есть функция, которая отображает область G на круг | 1,

то тогда функция w1 = we^ будет также отображать G на круг |w|

Если нам заданы два соответствующих элемента: один в области G и другой внутри круга | w | 1, то существует только

одна функция w=f(z), дающая взаимно однозначное конформное отображение области G на круг | ^ | <^ 1, при котором заданные элементы переходят друг в друга (фиг. 102).

Пусть функции w=f(z) и w = F(z) конформно отображают область G на круг так, что некоторый элемент этой области, при обоих отображениях, переходит в один и тот же элемент круга. Тогда функция у (w) =fF~l (w) отображает круг сам на себя, причём некоторый элемент круга переходит сам в себя. Обозначая через а аффикс точки, входящей в этот элемент, имеем:

поэтому по теореме п. 1

(w) = fFmml {w)= w. Подставляя сюда w = F(z), получаем окончательно:

что и требовалось доказать.

Все то, что было здесь сказано относительно отображения односвязной области G на круг, можно повторить и для отображения области G на некоторую другую односвязную область Д (фиг. 103).

Фиг. 103.

В самом деле, мы можем взять промежуточным звеном между этими отображениями круг: отображаем сначала область G на круг, а затем уже круг на Д.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>