Главная Математика, химия, физика
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
|
|
||||||
Принцип взаимно однозначного соответствия.Пусть замкну тый контур Г есть гладкая или по крайней мере кусочно-гладкая ![]() кции w = f{z) отображается взаимно одно- Фиг. 104. значным образом на некоторый замкнутый контур Г'. Иначе говоря, различным точкам контура Г соответствуют различные же точки контура Г'. При этих условиях мы докажем, что область, ограниченная контуром Г, отобразится взаимно однозначно на область, ограниченную контуром Г. Доказательство. Обозначим через G область, ограниченную контуром Г. По условию контуру Г соответствует контур Г', который Гудет делить плоскость w на две части: внутреннюю и внешнюю. Мы покажем, что ни одна из точек, лежащих вне Г', не может представлять значений, принимаемых / (z) внутри Г; с другой стороны, каждая точка, лежащая внутри Г', представляет одно из значений, принимаемых /(z) внутри Г и притом только для одного значения г. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы показать, что урав пение /(z) — w0=- 0, для w0, лежащего вне Г , не имеет ни одного корня внутри Г, а для w0, лежащего внутри Г', имеет один и только один корень z внутри Г. Г1о теореме о логарифмическом вычете (гл. VII, § 1, п. 5) искомое число корней уравнения f(z)— равно интегралу: ![]() где интеграл берётся по контуру Г, в положительном направлении. Полагая здесь f(z) = wy преобразуем этот интеграл к виду: ![]() Последний равен 0, если wQ лежит вне Г' и +1 (в зависимости от направления интегрирования по Г ), если w0 лежит внутри Г7. Но значение — 1 исключается по самому смыслу интеграла (4), равного (4 ). (Напомним, что /(z) голоморфна внутри Г.) Итак, интеграл (4) равен 0, если wQ лежит вне Г , и равен -|- 1, если wQ лежит внутри Г'. Теорема доказана. Из доказательства следует, в частности, что когда точка z обходит контур Г в положительном направлении, то точка w=f(z) обходит контур Г также в положительном направлении [иначе интеграл (4 ) имел бы значение —1]. Иными словами, при соответствии, устанавливаемом между контурами Г и Г, посредством функции, голоморфной внутри Г, необходимо сохраняется направление обхода. Доказанная теорема остаётся верной и для неограниченных областей, так как с помопгью .элементарных взаимно однозначных преобразований можно неограниченную область заменить ограниченной областью. ![]() Фиг. 105. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|