Принцип взаимно однозначного соответствия.

Пусть замкну тый контур Г есть гладкая или по крайней мере кусочно-гладкая

кции w = f{z) отображается взаимно одно-

Фиг. 104.

значным образом на некоторый замкнутый контур Г'. Иначе говоря, различным точкам контура Г соответствуют различные же точки контура Г'. При этих условиях мы докажем, что область,

ограниченная контуром Г, отобразится взаимно однозначно на область, ограниченную контуром Г.

Доказательство. Обозначим через G область, ограниченную контуром Г. По условию контуру Г соответствует контур Г', который Гудет делить плоскость w на две части: внутреннюю и внешнюю.

Мы покажем, что ни одна из точек, лежащих вне Г', не может представлять значений, принимаемых / (z) внутри Г; с другой стороны, каждая точка, лежащая внутри Г', представляет одно из значений, принимаемых /(z) внутри Г и притом только для одного значения г. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы показать, что урав пение /(z) — w₀=- 0, для w₀, лежащего вне Г , не имеет ни одного корня внутри Г, а для w₀, лежащего внутри Г', имеет один и только один корень z внутри Г. Г1о теореме о логарифмическом вычете (гл. VII, § 1, п. 5) искомое число корней уравнения f(z)— равно интегралу:

где интеграл берётся по контуру Г, в положительном направлении. Полагая здесь f(z) = w_y преобразуем этот интеграл к виду:

Последний равен 0, если w_Q лежит вне Г' и +1 (в зависимости от направления интегрирования по Г ), если w₀ лежит внутри Г⁷. Но значение — 1 исключается по самому смыслу интеграла (4), равного (4 ). (Напомним, что /(z) голоморфна внутри Г.) Итак, интеграл (4) равен 0, если w_Q лежит вне Г , и равен -|- 1, если w_Q лежит внутри Г'.

Теорема доказана. Из доказательства следует, в частности, что когда точка z обходит контур Г в положительном направлении, то точка w=f(z) обходит контур Г также в положительном направлении [иначе интеграл (4 ) имел бы значение —1]. Иными словами, при соответствии, устанавливаемом между контурами Г и Г, посредством функции, голоморфной внутри Г, необходимо сохраняется направление обхода.

Доказанная теорема остаётся верной и для неограниченных областей, так как с помопгью .элементарных взаимно однозначных преобразований можно неограниченную область заменить ограниченной областью.

Фиг. 105.