Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Обобщение принципа симметрии.

Будем называть дугу кривой аналитической, если её текущие координаты х, у являются функциями параметра t в интервале a разложимыми в степенные ряды в окрестности всякой точки t. Назовём аналитическую дугу правильной, если она не имеет кратных точек, причём дг7 и у не обращаются в нуль одновременно.

Предположим, что f{z) есть функция, голоморфная в области G, граница которой содержит правильную аналитическую дугу y- Под значениями функции /(z) на дуге т мы понимаем непрерывную последовательность предельных ёе значений изнугри области G, каковые по условию существуют. В п. 3 мы видели, что если кусок т границы области G представляет дугу некоторой окружности и если значения функции f(z) в точках этой дуги изображаются точками, лежащими на прямой или окружности, то наша функция может быть аналитически продолжена через дугу у. причём был дан весьма простой закон этого продолжения.

Задача настоящего пункта — дать обобщение этого предложения, показав,, что если кусок у границы области представляет любую правильную аналитическую дугу и если значения функции f(z) в точках этой дуги изображаются точками, лежащими на прямой или окружности, то наша функция может быть аналитически продолжена через дугу y.

Действительно, отправляясь от параметрических уравнений дуги Y* определим z = x--iy как голоморфную функцию переменного t вдоль интервала действительной оси (д, Ь) и в столь узкой его окрестности, чтобы обратная функция t была голоморфной от г в окрестности соответствующей дуги [это

легко вытекает из того факта, что — не обращается в нуль на (а, Ь) и дуга

не имеет кратных точек (см. п. 2)].

Функция <р(*) = /г(О) голоморфна с одной стороны интервала {а. Ь) и принимает в точках этого интервала те же значения, что и J(г) в соответствующих точках дуги у; следовательно, значения функции ? (t) на интервале (а, Ь) действительной оси изображаются точками прямой или окружности Г. Вследствие принципа симметрии Римана-Шварца (п. 3) эта функция ?(*) может быть аналитически продолжена через интервал (а, Ь), причем значении её аналитического продолжения в точках, близких к действительной оси и симметричных относительно (д, Ь), будут симметричными относительно Г.

В выше определённой окрестности дуги у две точки г назовём симметричными относительно этой дуги, если они соответствуют двум точкам t, симметричным относительно действительной оси. Это определение становится вполне естественным, если заметить, что свойство симметрии двух точек относительно правильной аналитической дуги у инвариантно при всяком голоморфном преобразовании параметра О = >(Т), У(Т)фО, сохраняющем действительную ось и приводящем к другому параметрическому изображению правильной аналитической дуги у.

Заметив это, рассмотрим два пути, симметричных относительно дуги у, выходящих из одной её точки, и им соответствующие пути в плоскости L Из возможности аналитического продолжения функции ?(Т) через интервал (а, b) и отмеченного выше его свойства следует, во-первых, возможность аналитического продолжения функции f(z) через дугу у, и, во-вторых, следующее свойство этого продолжения: в двух точках, симметричных относительно дуги у, аналитически продолженная функция f(z) принимает значения, являющиеся аффиксами двух точек, симметричных относительно Г.

Итак, при аналитическом продолжении функции f{z) через дугу у получаем для двух точек z, симметричных относительно дуги, две соответствующие точки f(z), симметричные относительно Г.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>