Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Общие преобразования единичного круга во внутреннюю область

Аналитическое выражение голоморфной функции, преобразующей круг |z|

Изучим аналитическое представление функции w=f(z)t определённой и голоморфной внутри единичного круга и по модулю меньшей единицы. Мы можем предполагать, что начало координат не есть нуль функции, потому что в противном случае мы разделили бы функцию на соответствующую степень z. Расположим все нули функции в порядке неубывающих модулей, причём записываем нуль k раз,

если он имеет кратность к. Пусть аъ а2.....ап — полученная таким образом

последовательность нулей, которую мы предполагаем пока конечной. Образуем функцию

Так как линейные функции——=: преобразуют единичный круг сам в

1 — zcii

себя, то они удовлетворяют условию: каково бы ни было малое положительное число с, можно построить окружность С% радиуса, достаточно близкого к единице, так, чтобы на этой окружности было

Следовательно, на окружности Св будет выполняться неравенство:

С другой стороны, имеем |/(2)|<1, и, следовательно, неравенство:

удовлетворяется на окружности Св, а значит, и внутри, потому что функция — — голоморфная внутри единичного круга, и максимум её модуля в

круге с окружностью С, достигается на границе. Заставляя е стремиться к нулю, из последнего неравенства получаем для всякой точки z(|z|< 1):

Равенство в формуле (13) возможно только в том случае, когда -L есть

тождественное постоянное, которое, имея модуль, равный единице, будет вида еп это заключение имеет место потому, что модуль голоморфной функции не может достигать своего максимума во внутренней точке области, если функция не есть постоянное.

Итак, отношение — есть функция, голоморфная внутри единичного круга,

не имеющая нулей и по модулю не превосходящая единицы. Следовательно, мы можем написать:

где f (z) будет функцией, голоморфной в единичном круге и удовлетворяющей условию: /?[y(*))^0.

Внося в формулу (14) вместо g{z) её выражение в виде произведения, получим:

Наконец, если начало координат есть нуль функции f(z) кратности }, то вместо (14) будем иметь более общую формулу:

Разберем теперь случай, когда функция /(г) имеет бесконечное множество нулей ah а2, . когорые мы расположили в порядке неубывающих

модулей, повторяя каждуй нуль столько раз, какова его кратность. Из гл. IX

00

§ 3, п. 3 мы знаем, что если ряд 2 (1 —|яа1] расходится, то функция

Я —1

имеющая нулями точки ап и ограниченная внутри круга, есть тождественный

00

нуль. Поэтому необходимо предположить, что ряд V [1 — I 11 сходится.

п=1

Предполагая это, в гл. IX, § 3, п. 4 мы показали, что функция

есть голоморфная внутри единичного круга, не равная тождественно нулю

00

к к=1

Заметив, что ак^k' и J? |дл| сходится, перепишем (15) в виде:

Откидывая постоянный множитель П | ak | формулы (15'), рассмотрим Функам

которая Судет голоморфной внутри единичного круга, не равной тождественна пул <>; нули этой функции g(z) совпадают с нулями данной функции f(z).

цию

Чтобы сравнить f(z) и g{z), образуем отношение —, которое будет представлять голоморфную функцию внутри единичного круга, не имеющую нулей, и покажем, что это отношение по модулю не превосходит единицы.

п

Иакz I ак I

-=-, мы покажем, как в на-

*=11—я*

чале настоящего пункта, что для зсякой точки z{z < 1) имеет место неравенство:

Из последнего неравенства (17) в пределе при п -? оо получим:

причём знак равенства для точки -г(|г|<1) возможен только в том случае»

когда — есть тождественно постоянное вида ел.

g

Итак, отношение есть функция, голоморфная внутри единичного круга,

не имеющая нулей и по модулю не превосходящая единицы. Следовательно, мы можем написать:

где Г (z) будет функцией, голоморфпой внутри единичного круга и удовлетворяющей условию*/?(Г(z))s^O. Внося в формулу (18) вместо g(z) её выражение (16) в виде бесконечного произведения, получим:

Наконец, если начало координат есть нуль функции f(z) кратности ), та вместо (19) будем иметь более общую формулу:

где Г (z) — функция, голоморфная при | z | < 1, имеющая действительную часть* всё время отрицательную или всё время равную нулю.

Это аналитическое" представление функции, голоморфной внутри единичного круга и по модулю меньшей единицы, указывает явно на все нули этой функции. Кроме того, обратно, если ап есть любая последовательность точек

оо ос

я|< 1 такая, что ряд 2 П —°п или П |л„| сходится, то выраже-

п=1 п—1

ние (20) изображает функцию, голоморфную внутри единичного круга и по модулю меньшую единицы.

Таким образом, мы получили вместе с тем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точки ап были нулями функции голоморфной, не равной тождественному нулю и ограниченной в круге [z|< 1, заключающееся в сле- 00

дующем: ряд 2 (1 — |дп|) сходится или, что то же, если отбросить нуле- e=i ос

вую точку, и |яп| сходится. Впрочем, этот последний результат был уста- я=1

новлен ранее (гл. IX, § 3, п. 3, 4).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>