Лемма Шварца.

Если функция w=f(z), голоморфная в круге z |< 1, удовлетворяет условиям: /(0) = 0 и |/(*)|< 1 при г I < 1, то мы имеем |/(z)|^|z| всюду в круге |z|Кроме того, если равен- ство имеет место хотя бы в одной внутренней точке, то оно имеет место повсюду, и тогда f(z) = e^aiz. Иначе говоря, лемма Шварца утверждает, что при отображении с помощью функции w=f(z) всякая точка либо приближается к началу координат, либо наше отображение представляет вращение около начала координат.

Переходя к доказательству, заметим, что гсюду внутри рассматриваемого круга | z I < 1 имеем:

так как согласно условию /(0) = 0. Отношение —^ представляет функцию голоморфную внутри указанного круга, если принять

причём имеет место разложение:

Возьмём внутри нашею круга радиуса единица концентрический круг радиуса р (р < 1). Мы знаем, что максимум модуля функции, голоморфной, в замкнутой области, достигается на границе этой области (гл. V, § 2, п. 5). Поэтому для всех точек z, лежащих в круге |г|^р, будет иметь место неравенство:

Заставляя р стремиться к единице, считая z постоянным, мы видим, что во всякой точке z, лежащей внутри круга |z|< I, будем иметь:

или

Итак, первая часть леммы Шварца доказана.

Дотустим теперь, что имеется, хотя бы при одном а(|а|<1) равенство:

[f(a) |д|. Рассмотрим функцию , голоморфную в окрестности точки а.

В самой точке а по предположению имеем: ^^1 = 1. Поэтому, если не есть тождественное постоянное, то должны найтись точки *(|*|<1)_в в которых ^чг0 невозможно, согласно лочазанпо! первой части при zz=a функция имеет модуль, равный единице, то |?^| = 1 тождественно, т. е. const. = е*к

Лемма Шварца имеет большое число обобщений. Оставаясь в предположениях доказанной классической формулировки леммы, мы дадим сначала лва простых уточнения этого предложения.

Во-первых, если начало координат есть нуль кратности для функции f(z),

то можно рассматривать функцию , и отсюда получаем аналогично

разобранному случаю:

причём равенство возможно лишь в том случае, если

Фиг. ПО.

Таким образом, мы имеем в этом частном случае ограничение, меньшее, нежели в предыдущей формулировке.

Во-вторых, возможно получить ограничение, еще более тонкое, используя модули всех нулей функции. Действительно, пусть «/—нули функции /, расположенные в порядке неубывающих .модулей, начало координат есть нуль кратности ). В п. 1 настоящего параграфа мы получили формулу:

Обозначим через Я(г) и М(г) максимумы модулей функций г(г)и f{z) в круге радиуса г(г<1), т. с. при |г|^г; из формулы (24) мы тогда находим

где г —любая точка круга Найдём максимум общего члена произведения. Выражение ——--!? изображает отношение расстояний точки z до

1 ^Я/1

точек а_п и =— , симметричных относительно единичной окружности. ,Когда z ^а п

описывает окружность радиуса г, это отношение достигает своего максимума при прохождении точки г через точку А, которая является противоположным концом радиуса, идущего к а_п (фигура 110). Величина этого максимума

будет р . где г_п- 1л„|, что, очевидно, меньше единицы. Слеовательно,

г А--

^гп

имеем:

после этого формула (25) примет следующий вид:

что и даёт ограничение модуля функции в круге |г|^г.

Из формулы (26) возможно получить оценку менее тонкую, но более удобную, если отбросить множитель //(г), который не превосходит единицы, и ограничиться п первыми членами бесконечного произведения:

Заметим, что если отбросить все п множителей произведения, то формула (27) перейдёт в формулу (23).