Главная Математика, химия, физика
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
|
|
||||||
Лемма Шварца. Если функция w=f(z), голоморфная в круге z |< 1, удовлетворяет условиям: /(0) = 0 и |/(*)|< 1 при г I < 1, то мы имеем |/(z)|^|z| всюду в круге |z| Переходя к доказательству, заметим, что гсюду внутри рассматриваемого круга | z I < 1 имеем:
так как согласно условию /(0) = 0. Отношение —^ представляет функцию голоморфную внутри указанного круга, если принять ![]() причём имеет место разложение: ![]() Возьмём внутри нашею круга радиуса единица концентрический круг радиуса р (р < 1). Мы знаем, что максимум модуля функции, голоморфной, в замкнутой области, достигается на границе этой области (гл. V, § 2, п. 5). Поэтому для всех точек z, лежащих в круге |г|^р, будет иметь место неравенство: ![]() Заставляя р стремиться к единице, считая z постоянным, мы видим, что во всякой точке z, лежащей внутри круга |z|< I, будем иметь: ![]() ![]() или Итак, первая часть леммы Шварца доказана. Дотустим теперь, что имеется, хотя бы при одном а(|а|<1) равенство: [f(a) |д|. Рассмотрим функцию , голоморфную в окрестности точки а. В самой точке а по предположению имеем: ^^1 = 1. Поэтому, если не есть тождественное постоянное, то должны найтись точки *(|*|<1)в в которых чг0 невозможно, согласно лочазанпо! первой части при zz=a функция имеет модуль, равный единице, то |?^| = 1 тождественно, т. е. const. = е*к Лемма Шварца имеет большое число обобщений. Оставаясь в предположениях доказанной классической формулировки леммы, мы дадим сначала лва простых уточнения этого предложения. Во-первых, если начало координат есть нуль кратности для функции f(z), то можно рассматривать функцию , и отсюда получаем аналогично разобранному случаю:
причём равенство возможно лишь в том случае, если
![]() Фиг. ПО. Таким образом, мы имеем в этом частном случае ограничение, меньшее, нежели в предыдущей формулировке. Во-вторых, возможно получить ограничение, еще более тонкое, используя модули всех нулей функции. Действительно, пусть «/—нули функции /, расположенные в порядке неубывающих .модулей, начало координат есть нуль кратности ). В п. 1 настоящего параграфа мы получили формулу:
Обозначим через Я(г) и М(г) максимумы модулей функций г(г)и f{z) в круге радиуса г(г<1), т. с. при |г|^г; из формулы (24) мы тогда находим
где г —любая точка круга Найдём максимум общего члена произведения. Выражение ——--!? изображает отношение расстояний точки z до 1 Я/1 точек ап и =— , симметричных относительно единичной окружности. ,Когда z а п описывает окружность радиуса г, это отношение достигает своего максимума при прохождении точки г через точку А, которая является противоположным концом радиуса, идущего к ап (фигура 110). Величина этого максимума будет р . где гп- 1л„|, что, очевидно, меньше единицы. Слеовательно, г А-- гп имеем: после этого формула (25) примет следующий вид:
что и даёт ограничение модуля функции в круге |г|^г. ![]() Из формулы (26) возможно получить оценку менее тонкую, но более удобную, если отбросить множитель //(г), который не превосходит единицы, и ограничиться п первыми членами бесконечного произведения: ![]() Заметим, что если отбросить все п множителей произведения, то формула (27) перейдёт в формулу (23). |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|