Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Единственность аналитических функций

Однозначное определение аналитической функции по её граничным значениям.

Одним из.основных свойств аналитических функций, как мы знаем (гл. V, § 2, п. 4), является свойство их единственности, в силу которого аналитическая функция однозначно определяется по её значениям в точках сколь угодно малой дуги, лежащей внутри области её голоморфизма. Пусть теперь нам дана функция f{z), голоморфная в области G, принимающая на некоторой дуге y границы области G определённые непрерывные значения (изнутри G). FxTecTBeniio возникает вопрос: будет ли такая функция единственная или же существует другая функция <р (z), голоморфная в области G, принимающая на y те же непрерывные значения?

Поъагая F(z) = /(z) — ® (г), мы будем иметь функцию, голоморфную в области G и принимающую равномерно изнутри G значение нуль на y, т. е. эта функция F{z)t равная нулю на y, будет непрерывной (изнутри О) во всех точках Y- Поставленный вопрос решается в положительном смысле, если мы покажем, что F(z) есть тождественный нуль. Эта задача немедленно решается на основании принципа симметрии (§ 2, п, 3), если y есть дуга окружности. В самом деле, в этом случае по принципу симметрии функция F(z) аналитически продолжается через дугу y и» следовательно, будучи юломорфной во всех точках, внутренних к Y, равна в них нулю. Такая же функция есть тождественный нуль вследствие основной теоремы единственности (гл. V, § 2, п. 4). Указанный вопрос решается положительно и в общем случае, когда y еСть дуга произвольной непрерывной линии, как это видно из нижеследующих рассуждений.

Возьмём две, пока произвольные, точки zq и Z внутри дуги y- Полагая z’— z0 = (z — z0)e* мы видим, что линии y и области G соответствуют линия y' и область G', которые получаются, если повернём y и G на угол а вокруг точки zq. Для.области G' определим функцию

Аналогично положим:

тогда линии y и области G соответствуют y" и G". В области G* определим функцию F.: (z) = F[zx--{z — гх)е~^. Считая точки z0 и zx достаточно близкими, можно выбрать углы аир так, чтобы области G, G G* имели общую часть /, ограниченную частями линий Y, т'. Т* (фиг. 112)1).

Рассмотрим теперь произведение:

Функция Ф (z) есть голоморфная в области /, так как F {г) будет голоморфной в G, Fx (z) - в G' и /**2 (г) — в G". Кроме того, это произведение Ф (г),

Фиг. 112.

будучи непрервыной функцией в замкнутой области /, обращается в нуль на замкнутом контуре 1 области /. Так как | Ф (г) | достигает своего максимума на границе i (гл. V, § 2, н. 5), то Ф(2г) равно тождественно нулю в области /. Отсюда следует, что по крайней мере один из трёх множителей произведения (36) равен нулю в области /, а следовательно, все три множителя этого произведения равны нулю в области /. Таким образом, функция F(z равная пулю в области /, есть тождественный нуль в области G.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>