Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Парабола.

В предыдущем пункте мы исследовали, чтб будет соответствовать в плоскости z координатным линиям плоскости w, т. е. прямым

и = с и v = с. Зададимся теперь обратным вопросом, именно, посмотрим, чтб будет соответствовать в плоскости w прямым х = const, и у = const.

Фиг. 115.

Фиг. 116.

Когда точка г движется по прямой х — с (фиг. 115), тогда и и v будут функциями одного только параметра у. Из второго уравнения (37') для этого случая имеем:

Подставляя в первое уравнение (37') это выражение у, мы получим: или окончательно:

Последнее уравнение представляет собой уравнение параболы, причем ось Ои служит осью симметрии параболы. Вершина этой параболы находится

в точке (с*, 0); фокус же (который отстоит от вершины на расстоянии , если

у2 = 2рх) находится в начале координат (фиг. 116). Если мы возьмём прямую у = Су то её отображение в плоскости w будет тоже параболой. Действительно, исключая из уравнений (37') х, получаем:

Фиг. 117.

117), даваемой уравнением:

или

Эта парабола имеет фокусом начало координат, а вершиной (— с2, 0) (фиг. 116).

Следует заметить, что каждая из этих двух парабол двойная; одна на одном листе римаиовой поверхности, другая — на другом. Возьмем внешнюю часть параболы (фиг.

Так как внешняя часть параболы не содержит критической точки, т..е. нуля, то, следовательно, наша функция г = y~w будет отображать взаимно однозначно и конформно внешнюю часть этой параболы на верхнюю полуплоскость, ограниченную прямой у=.с. >

Зададимся задачей отобразить внутреннюю часть параболы на верхнюю полуплоскость. Очевидно, что нам здесь будет мешать критическая точка — начало координат. Рассмотрим сначала область, ограниченную верхней половиной параболы и действительной осью (фиг. 118а).

Как мы видели, вся рассматриваемая парабола соответствует прямой у = с.

Для верхней дуги параболы мы имеем v ^ 0, следовательно, х = ^ ^ 0(с >0);

поэтому верхней дуге параболы соответствует полупрямая у = с от мнимой оси до бесконечности (фиг. 1186).

Посмотрим теперь, чтб будет соответствовать прямолинейной границе рассматриваемой области (фиг. 118а). Сначала найдём, чтб будет соответство

Фиг. 118а.

Фиг. 1186.

вать действительной положительной полуоси Ои (здесь v = 0, а и ^ 0). Из уравнений (37г) легко заключить, что в таком случае у = 0, а и=лг2. Отсюда ясно, что действительной положительной полуоси плоскости w будет соответствовать действительная и положительная полуось плоскости г. Теперь посмотрим, что будет соответствовать прямолинейному отрезку от вершины параболы до фокуса, т. с. когда v—О, а и меняется от 0 до — с2. Из формулы (370

Фиг. 119а.

мы видим, что в таком случае л: = 0, ад^ меняетсй от 0 до с. Итак, рассматриваемая область помощью формулы г=Уъи взаимно однозначно и конформно отображается на полуполосу ширины с (фиг. 118 6).

Фиг. 1196.

Разрежем теперь рассматриваемую область от вершины параболы А {фиг. 119а) до её фокуса — начала координат—и применим принцип симметрии. Из него следует, что разрезанной указанным способом внутренности параболы будет соответствовать полуполоса ширины (фиг. 1196). Если же разрезать данную область вдоль действительной положительной оси Ои (фиг. 120а) и применить принцип симметрии, продолжая функцию за мнимую ось, то найдём,__что так разрезанная внутренность параболы с помощью функции г = Уw отобразится на полосу, ограниченную действительной осью Ох и прямою у = с (фиг. 1206). Следует заметить, что в двух последних случаях отображение будет взаимно однозначным и конформным, так как критическая точка О находится на границе области (именно на разрезах).

Как отобразить взаимно однозначно и кон<|юрмно внутренность параболы (неразрезанную) на верхнюю полуплоскость? Какова будет функция, выполняющая это отображение? С этой целью возьмём снова область, ограниченную верхней половиной параболы и её осью симметрии (фиг. 118а). Она, как мы уже видели, с помощью функции г =Vw отображается взаимно-одно" значно и конформно на полуполосу (фиг. 1186). Отобразим эту пол у полос у на полукруг с помощью подстановки:

Проверим это. Действительно, когда точка г движется по прямой у = с% то подстановка (3.8) принимает вид:

Отсюда видно, что когда х изменяется от оо до 0, то z' изменяется от 0 до 1.

На отрезке О А' (фиг. 1186) имеем лг = 0,

Фиг. 120а.

у

у меняется от 0 до с; следовательно, ~ будет меняться от 0 до 1. Подстановка (38)

Фиг. 1206.

даёт: z' = — e *' с • Отсюда видно, что когда точка z движется по А'О, то г' описывает полуокружность радиуса единица (ибо |г'| = 1) от точки 1 до—1, причём из сохранения направления отсчёта углов следует, что полуокружность будет в верхней полуплоскости переменного z'. Наконец, когда точка z движется по действительной оси от 0 до оо, то у = 0, а дг изменяется от

Фиг. 122.

О до оо; z* = — с с х будет меняться в таком случае от — 1 до 0 (фиг. 121).

Фиг. 121.

Итак, мы можем отобразить область, границей которой служит верхняя половина параболы и ось симметрии, на полукруг. Отобразим полученный полукруг на верхнюю полуплоскость. Для этого мы возьмём такую функцию:

Эта линейная функция, очевидно, переведёт отрезок от — 1 до+1 в действительную положительную полуось, а полуокружность — в мнимую положительную полуось (гл. Ш, § 3, п. Д). Таким образом, рассматриваемая линейная функция (39) переводит полукруг на координатный угол (фиг. 122).

Совершенно ясно, что поде шовка

(гл. III, § 3, п. 1) отобразит наш полукруг на верхнюю полуплоскость (фиг. 123).

Фиг. 124.

Следя за всеми предыдущими преобразованиями, мы замечаем, что верхняя дуга параболы отобразится” в плоскости С в виде полупрямой, лежащей на действительной положительной оси плоскости С и простирающейся от 1 до оо (фиг. 123). Воспользуемся теперь принципом симметрии. По этому принципу внутренность всей параболы (без разреза) отобразится на плоскость С, разрезанную по действительной оси от 1 до оо, причём верхний берег разреза соогветсг-

Фиг. 123.

вует верхней дуге параболы, нижний — нижней дуге. Остаётся рассечённую плоскость (фиг. 124) перевести в верхнюю полуплоскость. Для этого, очевидно, можно воспользоваться формулой Vt — 1 или же такой формулой:

Замечая теперь, что вся парабола отобразится взаимно однозначно на действительную ось плоскости W, мы заключаем, на основании § 2, п. 2, что внутренность параболы с помощью функции W отобразится взаимно однозначно и конформно на верхнюю пату плоскость.

Итак, задача решена; остаётся написать функцию W в раскрытом виде:

ex _ e-x ex -L e-x

Так как ---= sn л*,--= ch x, то имеем:

Наконец, получаем:

Такова функция, когорая отображает взаимно однозначно и конформно внутреннюю часть параболы на верхнюю полуплоскость.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>