Главная Математика, химия, физика
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
|
|
||||||
Отображение внутренности эллипса на полуплоскость.Пользуясь тем же самым методом, мы можем отобразить внутренность эллипса на верхнюю полуплоскость. "Возьмём эллипс, определяемый уравнением:
Как мы уже видели в предыдущем пункте, этому эллипсу будет соответствовать окружность радиуса с. ![]() Фиг. 134. ![]() Фиг. 135. Берём область, ограниченную верхней половиной эллипса и его осью симметрии (фиг. 134). Верхней дуге эллипса соответствует верхняя полуокружность на плоскости z (фиг. 13о)‘. Действительно, когда z = pebl меняется ![]() Фиг.. 136а. ![]() Фиг. 1366. по этой полуокружности, то из уравнений (43) видно, что.1/ будет больше нули (r> 1); когда точка w движется по DA (фиг. 134), то точка z движется по действительной оси от —с до —1 (фиг. 135). Когда точка w движется по отрезку от — 2 до -f- 2, то z движется по полуокружности радиуса единица от — 1 до -f-1. наконец, когда w описывает то z движется по действительной оси от -j-1 до с. Короче говоря, рассматриваемая область отображается на криволинейный четырехугольник, границей которого служат две окружности радиусов 1 и с и два отрезка действительной оси (фиг. 135). Разрезая внутренность рассматриваемого эллипса по действительной оси от — 2 до +2 (фиг. 136 а), мы заключаем по принципу Шварца, что при помощи нашей функции z = z (w) так разрезанная внутренность эллипса отобразится взаимно однозначно и конформно на область, ограниченную двумя концентрическими окружностями радиусов 1 и с (фиг. 1366). ![]() Фиг. 137а. Если же разрезать эллипс по DA и BE (фиг. 137 а), то он отобразится на криволинейный четырёхугольник, огра ![]() Фиг. 1376. ниченный окружностями радиусов с иу и двумя отрезками действительной оси (фиг. 1376). Но нас интересует отображение всей внутренности эллипса. ![]() Фиг. 138. Мы уже видели, что верхняя половина этой внутренности эллипса отображается на. криволинейный четырёхугольник (фиг. 135). Такой криволинейный четырёхугольник мы в гл. Ill, § 3, п. 2 преобразовали в прямолинейный прямоугольник (фиг. 138), полагая
• Итак, нам удалось отобразить верхнюю часть внутренности эллипса на прямоугольник. Остаётся этот прямоугольник перевести на верхнюю полуплоскость. Эту задачу мы решим в одном из следующих параграфов. Мы найдём функцию /, которая будет отображать взаимно однозначно и конформно прямоугольник на верхнюю полуплоскость. Функция же
будет, очевидно, переводить взаимнооднозначно и конформно верхнюю часть внутренности эллипса на верхнюю полуплоскость. Применяя принцип симметрии, мы увидим, что эта же функция будет отображать взаимно однозначно и конформно внутренность всего эллипса на плоскость, разрезанную вдаль некоторого отрезка действительной оси. Остаётся затем лишь преобразовать эту разрезанную плоскость в верхнюю полуплоскость, чтобы иметь взаимно однозначное и конформное отображение внутренности всего эллипса на верхнюю полуплоскость. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|