Отображение внутренности эллипса на полуплоскость.

Пользуясь тем же самым методом, мы можем отобразить внутренность эллипса на верхнюю полуплоскость.

"Возьмём эллипс, определяемый уравнением:

Как мы уже видели в предыдущем пункте, этому эллипсу будет соответствовать окружность радиуса с.

Фиг. 134.

Фиг. 135.

Берём область, ограниченную верхней половиной эллипса и его осью симметрии (фиг. 134). Верхней дуге эллипса соответствует верхняя полуокружность на плоскости z (фиг. 13о)‘. Действительно, когда z = pe^bl меняется

Фиг.. 136а.

Фиг. 1366.

по этой полуокружности, то из уравнений (43) видно, что.1/ будет больше нули (r> 1); когда точка w движется по DA (фиг. 134), то точка z движется по действительной оси от —с до —1 (фиг. 135). Когда точка w движется по отрезку от — 2 до -f- 2, то z движется по полуокружности радиуса единица от — 1 до -f-1. наконец, когда w описывает то z движется по действительной оси от -j-1 до с. Короче говоря, рассматриваемая область отображается на криволинейный четырехугольник, границей которого служат две окружности радиусов 1 и с и два отрезка действительной оси (фиг. 135). Разрезая внутренность рассматриваемого эллипса по действительной оси от — 2 до +2 (фиг. 136 а), мы заключаем по принципу Шварца, что при помощи нашей функции z = z (w) так разрезанная внутренность эллипса отобразится взаимно однозначно и конформно на область, ограниченную двумя концентрическими окружностями радиусов 1 и с (фиг. 1366).

Фиг. 137а.

Если же разрезать эллипс по DA и BE (фиг. 137 а), то он отобразится на криволинейный четырёхугольник, огра

Фиг. 1376.

ниченный окружностями радиусов с иу и двумя отрезками действительной

оси (фиг. 1376). Но нас интересует отображение всей внутренности эллипса.

Фиг. 138.

Мы уже видели, что верхняя половина этой внутренности эллипса отображается на. криволинейный четырёхугольник (фиг. 135). Такой криволинейный четырёхугольник мы в гл. Ill, § 3, п. 2 преобразовали в прямолинейный прямоугольник (фиг. 138), полагая

• Итак, нам удалось отобразить верхнюю часть внутренности эллипса на прямоугольник. Остаётся этот прямоугольник перевести на верхнюю полуплоскость. Эту задачу мы решим в одном из следующих параграфов. Мы найдём функцию /, которая будет отображать взаимно однозначно и конформно прямоугольник на верхнюю полуплоскость. Функция же

будет, очевидно, переводить взаимнооднозначно и конформно верхнюю часть внутренности эллипса на верхнюю полуплоскость. Применяя принцип симметрии, мы увидим, что эта же функция будет отображать взаимно однозначно и конформно внутренность всего эллипса на плоскость, разрезанную вдаль некоторого отрезка действительной оси. Остаётся затем лишь преобразовать эту разрезанную плоскость в верхнюю полуплоскость, чтобы иметь взаимно однозначное и конформное отображение внутренности всего эллипса на верхнюю полуплоскость.