Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основная лемма.

Для доказательства теоремы Римана нам придётся воспользоваться следующим вспомогательным предложением: если последовательность функций

аналитических и однолистных в области G, сходится равномерно в каждой замкнутой области, принадлежащей G, к предельной функции f(z), отличной от постоянного, то предельная функция / (z) также однолистна.

Для доказательства допустим противное, что существуют две различные точки Zj и Zo области G, в которых аналитическая функция f (z) равна одному и тому же числу w0. Проведём в области G замкнутый контур Г, содержащий внутри себя точки z{ и z2i так, что на этом контуре f(z) не равна w0; это возможно сделать, ибо согласно условию f (z) не есть постоянное. Тогда (гл. У111, § 1, п. 5):

где v есть целое число, не меньшее 2(v^2). Так как из равномерной сходимости функций fa(z) к функции f(z) следует равномерная сходимость fn(z) к f'(z) (гл. V, § 1, п. 1), то интеграл

при неограниченно возрастающем п стремится к пределу v. С другой стороны, по условию, каждое уравнение fn(z)‘=wQ в области G либо не имеет корней, либо имеет один простой корень [в случае кратного корня производная fn(z) должна обращаться в нуль, что противоречит взаимной однозначности отображения w=fn{z). Следовательно, последний интеграл, имеющий значения 0 или 1, не может при неограниченном возрастании п стремиться к числу v^2. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>