Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Постановка задачи.

Прежде всего заметим, что из факта взаимно однозначного соответствия границ 5 и 2 вытекает уже равномерная непрерывность функции f(z) в области G и её обратной функции в круге |хе/|<^1, а следовательно, и взаимная непрерывность соответствия этих границ.

В самом деле, мы уже видели, что функция z = y(w) непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в круге | w 1 Допустив, что функция / (z) не является равномерно непрерывно, в области G, мы установим, что некоторой граничной точке Р области G будут отвечать по крайней мере две различные точки Qi и (?2 на окружности | w | = 1. Применяя этот результат к обратной функции, мы убедимся в справедливости высказанного положения. Итак, допустим, что /(*) не является равномерно непрерывной функцией в области G. В этом случае в области О существует последовательность пар точек z„fz„(n = 1, 2,...) таких, что

Иш| zn—*„1 = 0, в то время как расстояние

л-* до

между соответствующими отображёнными точками остаётся всё время больше постоянного положительного числа а. Вследствие предложения Вольцано-Вейерштрасса о предельной точке (гл. 1, § 3, п. 4) мы можем (опуская надлежащие пары точек) принять, что эти пары точек *„, zn имеют единственную предельную точку Р, в то время как их образы wn, wn имеют две предельные точки Q' и Q' расстояние которых должно быть не меньше, чем а. Эти предельные точки Р и Q', Q* должны лежать соответственно на границах 5 и 2, так как функция /(*) в достаточно малой окрестности всякой внутренней точки области О есть равномерно непрерывная.

Итак, мы знаем, что из взаимной однозначности соответствия границ 6' и 2 следует и взаимная непрерывность этого соответствия, так как функция /(*) и ей обратная будут равномерно непрерывными в соответствующих областях. Обратно, если /(*) вместе со своей обратной равномерно непрерывны, соответственно, в областях G и | w | < 1, то, очевидно, отображение границ S и 2 будет взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Таким образом, геометрическая постановка задачи о взаимно однозначном и непрерывном соответствии границ S и 1', сделанная в начале этого параграфа, эквивалентна следующей аналитической постановке: доказать, что функция w = J (z) равномерно непрерывна в области G, а её обратная.в области | w |<^ 1.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>