Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Отображение на верхнюю полуплоскость прямоугольника и произвольного многоугольника

Прямоугольник.

Чтобы отобразить прямоугольник на верхнюю полуплоскость, нам надо рассмотреть эллиптический интеграл вида:

где k — действительное число, удовлетворяющее условию 0<^/г<М. Будем предполагать, что верхний предел z эллиптического интеграла есть комплексное число, лежащее в верхней полуплоскости.

Другими словами, мы будем интегрировать по некоторому пути, лежащему в верхней полуплоскости комплексного переменного z, выходящему из начала координат. Тогда наш интеграл представит собой функцию комплексного переменного z, которую мы обозначим через С (z).

Легко видеть, далее, что подинтегральная функция имеет следующие четыре особые точки, которые все лежат на действительной оси:

Фиг. 142.

Так как z мы рассматриваем в верхней полуплоскости, то при всяком пути интеграции мы не встретим ни одной особой точки. Отсюда следует, что результат интегрирования не будет зависеть от пути.

Итак, С (z) есть голоморфная функция z, когда z лежит в верхней полуплоскости. Кроме того, то же самое будет и для действительных значений z, кроме указанных особых точек. Эти особые точки, очевидно, являются критическими точками подинтегральной функции.

Мы сейчас увидим, что когда z меняется в верхней полуплоскости, то С будет меняться внутри некоторого прямоугольника. Для того, чтобы обнаружить это обстоятельство, естественно заставить точку z описать действительную ось и смотреть при этом, какой путь будет описывать С. При этом пробеге точка z четыре раза перейдёт через особые точки. Мы их можем исключить, описывая около них полуокружности радиуса р и заставляя z двигаться по пути, строение которого ясно из фиг. 142. Сейчас же мы можем заметить, что радиус р построенных полуокружностей можно уменьшить до нуля (р—?О) ,так как подинтегральная функция при этом становится бесконечно большой величиной порядка 1'2.

Итак, допустим, что точка z отправляется от нуля и движется вправо по действительной оси. Когда z находится в промежутке О ^z

Как мы уже заметили, этот интеграл имеет определённое конечное значение. Обозначим его через ~. Итак,

Далее, точка г пройдёт по полуокружности, описанной около единицы, Посмотрим, что произойдет с ?. В подинтегральной функции под знаком радикала имеются такие множители:

Посмотрим, что произойдёт с аргументами этих факторов, когда точка z опишет полуокружность около единицы. Ясно, что аргументы трёх последних множителей в результате такой операции не изменятся. Но аргумент первого множителя уменьшается при этом на тг, что

Фиг. 143.

Фиг. 144.

ясно из фиг. 143, так как arg (1—t) изменяется от 0 до — тт. Отсюда следует, что аргумент радикала уменьшится на а аргумент

всей подинтегральной функции увеличится на |-(фиг. 144). Поэтому функцию С после обхода полуокружности можно записать так:

где z находится в промежутке

Когда z увеличивается в только что указанном промежутке, то интеграл формулы (54) тоже увеличивается и приг->--1- стремится

к определённому пределу, который мы обозначим через о>2, т. е. положим:

Отсюда следует, что, когда z—? ^ , то ^ -? ^i-|-,/ш2.

Далее, когда точка z описывает полуокружность около точки то подобно предыдущему заключаем, что вектор С—^y-f- ) должен повернуться на угол (фиг. 144). Следовательно, после об<

хода переменным z нашей полуокружности функция z запишет ся следующим образом:

Когда z изменяется от ljA до оо, то последний интеграл всё время увеличивается, а следовательно, действительная часть функции С всё время убывает. В пределе, когда 2=00, последний интеграл можно записать так:

Легко видеть, что этот интеграл равен -у . Действительно, сделаем

подстановку / = -^, где т — новое переменное. Тогда последний интеграл примет вид:

Подводя в подинтегральной функции последнего интеграла kx2 под знак радикала, мы и убеждаемся в справедливости доказываемого предложения.

Таким образом, когда z—?оо, то С—?<*>2/ (фиг. 144), при изменении z от — оодо— i- (фиг. 142) точка ?, очевидно, придёт из im

Фиг. 145.

в точку — y“H/<02* Когда z будет двигаться от — ~ до— 1, точка С опишет прямолинейный отрезок от — гг + ДО— ~ ,

и, наконец, когда z изменяется от — 1 до 0, то функция С изменяется по действительной

оси от —до 0 (фиг. 145).

Таким образом, мы видим, что при помощи эллиптического интеграла мы можем отобразить верхнюю полуплоскость на прямоугольник со сторонами, равными а), и <о2. При этом это отображение будет взаимно однозначное и конформное (вследствие § 2, п. 2).

Если же мы рассмотрим обратную функцию z = s (С), то эта функция будет давать отображение внутренности прямоугольника на верхнюю полуплоскость.

Примечание. В этом пункте мы Ридели, что с помощью эллиптиче- у Г dt

ского интеграла С = - — - — верхняя полуплоскость взаимно од-

j) Vw-12)

нозначно и конформно отображается на прямоугольник плоскости С, стороны которого параллельны осям координат и равны щ и о>2, где положено:

Естественно возникает вопрос: каким образом отобразить на верхнюю полуплоскость a priori данный прямоугольник? Легко видеть, что это отображение может быть выполнено с помощью функции вида: A*(z)--B, где А и В — постоянные. Действительно, выберем

Фиг. 146а.

параметр k так, чтобы А равнялось отношению сторон данного прямоугольника. Тогда соответствующая этому значению k функция S (z) будет давать отображение верхней полуплоскости на некоторый прямоугольник) отношение сторон которого ©j и (о2 равно отношению сторон данного прямоугольника. Выполняя перенос и вращение, мы достигнем того, что центры этих прямоугольников совпадут, а стороны будут параллельны. Но так как отношения сторон в обоих прямоугольниках одинаковы, то для их полного совмещения достаточно выполнить преобразование подобия относительно их общего центра. Последние же эле-

Фиг. 1466.

ментарные преобразования (перенос, вращение и подобное изменение) производятся надлежащим выбором комплексных постоянных Л и В.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>