Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Эллиптическая функция Якоби.

Чтобы выяснить свойства введённой нами функции s (С), мы воспользуемся принципом симметрии Шварца.

Обозначим стороны полученного выше прямоугольника через 1, II, III и IV (фиг. 146 а). Каждой стороне этого прямоугольника соответствует некоторый отрезок на действительной оси плоскости z. Обозначим их соответственно теми же римскими цифрами (фиг. 1466).

Отобразим наш прямоугольник симметрично относительно стороны I. Внутренность нового (двойного) прямоугольника (фиг. 147) отобразится с помощью продолжения 5 (С) взаимно однозначно и конформно на плоскость z, разрезанную по действительной оси от 1 до оо и от — оо до — 1. Но можно отображать прямоугольник относительно любой его стороны; мы опять получим отображение на всю плоскость z, но разрезанную иначе. Продолжая строить в плоскости С всё новые и новые симметричные прямоугольники, мы в конце концов покроем всю плоскость С сетью таких прямоугольников

(фиг. 148) и, следовательно, определим функцию 5(C) во всей плоскости.

Для того, чтобы установить взаимно однозначное соответствие всей плоскости С с переменным z> надо приготовить вместо плоскости z бесконечнолистную риманову поверхность. Эта риманова

поверхность будет иметь точками разветвления 1, , —i-, — 1;

Фиг. 147.

Фиг. 148.

листы этой поверхности будут связаны так же, как соответствующие им прямоугольники.

Фиг. 149.

Из предыдущего легко подметить весьма важное свойство функции 5 (С), именно, свойство двоякопериодичности этой функции. Возьмём один из прямоугольников плоскости С. Отобразим его сначала относительно стороны II, затем полученный таким образом новый прямоугольник отобразим в свою очередь относительно стороны IV (фиг. 148). Далее, возьмём какую-нибудь точку внутри первоначального прямоугольника. Эта точка в результате двукратного отображения по первоначальному направлению перейдёт в точку С2. Из фи!'. 149 ясно, что С2 = С1 + 2о)1, ибо сторона I по длине равна г.

Допустим, кроме того, что точке на плоскости z соответствует точка z1% т. е. z1—s (С,). При рассмотренном первом отображении прямоугольника точкам перейдёт в симметричную относительно оси Ох точку «г/. При втором отображении точка гг переходя в симметричное положение, очевидно, попадёт в точку гг.

Итак, мы установили, что s (' -+- 2(0j) = s (С). Если же мы будем отображать наш прямоугольник по вертикальному направлению, то аналогичным образом найдём, что 2<о2/) = s(Z). Вообще, как легко видеть, мы будем иметь:

где h и k — любые целые числа. Количества 2о>1 и 2о>2/ будут периодами функции 5(C).

В прямоугольнике периодов функция 5(C) имеет два простых полюса: io2i и (Oj-j-CDgi (точки А и В на фиг. 150) и два простых нуля в точках 0 и а),. Таким образом, функция 5(C), однозначная во всей плоскости С, не имеет на конечном расстоянии других особых точек,

Фиг. 150.

кроме полюсов. Это есть мероморф- ная функция. Сравнивая построенную функцию 5 (С) с первой эллиптической функцией Якоби (гл. XI, § 5), образованной для тех же периодов 2(ot и 22i, мы видим, что они совпадают, так как имеют одинаковые нули и полюсы и производные их в начале координат равны 1. Итак, функция 5 (С), отображающая внутренность прямоугольника на полуплоскость, есть эллиптическая функция Якоби: 5 (С) = sn С.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>