Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Многоугольник.

Займёмся задачей более общей: отобразить взаимно однозначно и конформно я-угольник на верхнюю полуплоскость.

Пусть в плоскости переменного w имеется /z-угольник (фиг. 151а), внутренние углы которого равны а,тг, а2тг, а3тт, ..., алтт, где au а2, •••» — действительные числа, причём каждое из них, очевидно,

Фиг. 151а.

Фиг. 1516.

не превышает 2 и, кроме того, a, -f- ... -f- лп = п — 2. Покажем, что функция w = f(z)y конформно отображающая верхнюю полуплоскость /(*)>0 на внутренность многоугольника, имеет вид:

где д,, д2, ...» ап — точки действительной оси, соответствующие вершинам многоугольника, а С и Сх— некоторые комплексные числа (в частности Сх должно, очевидно, представлять точку на контуре многоугольника, соответствующую 2 = 0). Формула (57) называется формулой Христоффеля-Шварца. Функция, отображающая полуплоскость на прямоугольник, изученная в п. 1, является частным случаем (57); именно, её можно представить в виде:

ЗдеСЬ Ctj = == == =="о*> #1 ==--> #2==““1» аз == ^> ^4 ==

= С—т и с1=°-

Чтобы освоиться с общей формулой (57), предположим сначала» что alt Og, ..., ап — заданные a priori действительные числа, расположенные, например, в порядке возрастания: ахаз<С • • • <. Пусть а,, а2, ..., ап — также a priori заданные действительные положительные числа, не ббльшие 2, сумма которых равна п — 2;

Условимся под (z—а*)в*-1 понимать в верхней полуплоскости ту ветвь соответствующей многозначной функции, которая на действительной оси при z=x^>ak принимает действительные положительные значения. Тогда формула

определит в замкнутой верхней полуплоскости однозначную непрерывную функцию, аналитическую при / (z) 0. В этих утверждениях

нуждается в проверке только непрерывность функции (57') в точке z= оо. Но подинтегральная функция может быть записана в виде:

откуда следует, что интеграл

сходится. При этом его значение не зависит от пути интегрирования, целиком принадлежащего верхней полуплоскости и соединяющего точки 0 и оо. В этом убеждаемся путём предельного перехода, опираясь на интегральную теорему Коши. Отсюда и вытекает непрерывность функции (57') в точке z = со. Заставим теперь точку z описывать всю действительную ось в положительном направлении. Тогда соответствующая точка С опишет непрерывную замкнутую линию, которая, вообще, может самопересскаться (иметь кратные точки) (фиг. 1516). Покажем, что отдельные звенья этой линии, соответствующие отрезкам действительной оси акх ак) представляют прямолинейные отрезки, описываемые каждый в одном и том же направлении (без попятных движений точки С). Для этого достаточно установить, что аргумент производной

«е изменяется, когда z описывает отрезок ak_xak, причём произвол; ная не обращается в нуль во внутренних точках отрезка. Но всё это непосредственно, очевидно.

Таким образом, кривая, описываемая точкой С, есть я-звенная ломаная с вершинами:

Убедимся, что угол в вершине Ak между звеньями AkAk_l и AkAk+x равен аЛтт. В самом деле, векторы и ЛЛЛЛ+1 выражаются

комплексными числами

аргументы которых совпадают, соответственно, с аргументами под- интегральных выражений (остающихся постоянными на отрезках интегрирования). Но в первом случае аргумент подинтегрального выражения характеризуется числом (ak—1)тг+...+(ап—1)тт, во втором случае — числом (aft+1 — 1) тг —f- ... -f- п — 1) тг. Поэтому угол между векторами Ak_tAh и AkAk+l есть — л—1) тг=тт — тта*, т. е. угол между AkAk_{ и AkAk+l есть nak.

Итак, посредством функции (57') действительная ось отображается на замкнутую я-звенную ломаную с углами сцтг, ...» апп. Длины звеньев этой ломаной зависят от выбора точек аи ...» ап. При произвольном выборе этих точек ломаная, как мы уже указывали, может •самопересекаться и поэтому не является границей области — многоугольника (фиг. 1516). Однако, если самопересечений нет, то функция (57'), аналитическая в верхней полуплоскости и устанавливающая взаимно однозначное и непрерывное соответствие между точками действительной оси и точками контура многоугольника, должна давать конформное отображение полуплоскости на внутренность многоугольника. Переход от формулы (57') к более общей формуле (57) равносилен линейному преобразованию

Пользуясь им, мы можем притти к любому многоугольнику, подобному многоугольнику, полученному с помощью формулы (57') и притом произвольно расположенному в плоскости w. Таким образом, весь вопрос обоснования формулы Христоффеля-Шварца сводится к вопросу о том, можно ли при любых alt ...» аи, 0< а*<^2, al -f-... -(- ап = я — 2 так подобрать действительные числа д„...,ая в формуле (57'), чтобы посредством этой формулы действительная ось переходила бы в многоугольный контур, подобный любому, a priori заданному контуру (с внутренними углами о^тг,..., ад1г). Так как длина стороны AkAk+x изображается числом

то всё сводится к вопросу о возможности решении системы п — 1 уравнений:

где /4, — стороны заданного многоугольника (неизвестными

служат ах, а2, ...» ип). Оставляя в стороне фактическое решение такой системы, мы ограничимся лишь доказательством возможности решения, причём пойдём другим путём, опирающимся на теорему существования Римана. Именно, по этой теореме существует функция w=f(z), конформно отображающая верхнюю полуплоскость на заданный многоугольник Р. При этом, по § 7, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками действительной оси и точками контура многоугольника. В частности, мы имеем право говорить о точках аг, ...» ап действительной оси, соответствующих вершинам многоугольника к соответствует вершине с внутренним углом а^тт). Остаётся показать, что Си С, в формуле (57) (при этих значениях ах% ..., ап и elt ...» ая) могут быть выбраны так, чтобы формула (57) представила бы функцию w = f(z).

Рассмотрим функцию

которая переводит верхнюю 2-полуплоскость на некоторый многоугольник Р' плоскости С, причём точке at соответствует вершина угла а/гт этого многоугольника. Тем самым устанавливается отображение многоугольника Р на многоугольник Р считая за соответствующие точки многоугольников Р и Р' те, которые являются образами одной и той же точки 2-полуплоскости. Аналитически это соответствие даётся функцией w=F(Zt)% которая получается путём исключения z из равенств w=f(z) и С = Ф(2). Мы покажем, что

F(t)=a+cl.

Для доказательства исследуем функцию w — F(^) вблизи вершин многоугольника Р Обозначим через С* и wk = F(Zk) соответствующие вершины многоугольников Р' и Р и введём вместо Z н w вспомогательные переменные / и. s при помощи соотношений

Очевидно, при помощи этих операций окрестности вершин и wk, принадлежащие многоугольникам Р' и Р, отображаются на области Q’ и Q плоскостей t и $, границы которых содержат прямолинейные отрезки, проходящие через начало координат. Отображение w = F{Z) и формулы (61) определяют преобразование области Q' в область Q:

Правую часть последнего равенства обозначим через ?(/), т. е. положим s = g(t)

В силу принципа симметрии отображение области Q' на область Q, устанавливаемое с помощью функции s = g(t)t может быть распространено на полные окрестности нулевых точек плоскостей / и s, а следовательно, g(t) = axt-- а2Р-- ..где а, Ф 0, так как соответствие между t и s взаимно однозначное.

С помощью функции g-(?) соответствие между С и w может быть записано так:

где *=(С — С*)1'8*.

Теперь легко исследовать. поведение производной в окрестности вершины С*. В самом деле:

или

dw

Последнее равенство нам показывает, что г-, рассматриваемая как

функция /, непрерывна в точке t = 0, и, следовательно, ^ остается непрерывной, когда точка С подходит к вершине оставаясь внутри многоугольника Р'. Таким образом, функция^ , аналитическая внутри многоугольника Р' и на его сторонах (в силу принципа симметрии), будет непрерывной во всей замкнутой области Р Кроме того, нигде не обращается в нудь.

Рассмотрим функцию 9Р непрерывную в Р'. Коэффициент при мнимой части этой функции сохраняет постоянное значение на контуре многоу-

rv rv dw

гольника Р , так как в точках сторон многоугольника Р arg ^ означает

угол поворота соответствующей стороны при отображении на Р (эти углы для всех сторон одинаковы вследствие попарного равенства углов многоугольников Р' и Р).

Итак, гармоническая функция arg ^, будучи постоянной на контуре, есть постоянное (ср. гл. V, § 2, п. 5). Сопряжённая ей функция In |^?|, как это следует из условий Коши-Римана, будет также постоянной, а потому ср (С) = consf., откуда вытекает, что

что и требовалось доказать.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>