Главная Математика, химия, физика
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
|
|
||||||
Проблема коэффициентовЧтобы получить верхние границы модулей коэффициентов разложения функции, голоморфной в круге |г|<1, однолистной в этом круге и нормированной, нам необходимо'установить два вспомогательных предложения* известных под названием внутренней и внешней теорем площадей. Внутренняя теорема площадей.Пусть
функция, голоморфная в круге |*|<1. Рассмотрим круг |2r|^r(r< 1) и область Dr которая получается р результате отображения этого круга с помощью функции w=f(z). Вообще говоря, если данная функция не яв_ ляется однолистной, область L)r будет многолнетной. Наша задача состоит в том, чтобы определить величину площади этой области Dr Эта последняя выражается интегралом:
и, таким образом, вопрос сводится к вычислению этого интеграла. Заметим, что |/' (С) |* = /' (С) /' (С), получаем: ![]() Выполняя оставшуюся квадратуру, получаем для площади области Dr следующее значение:
По определению за площадь области D, получаемой в отображении круга |2r|< 1 с помощью функции w=f(z), мы примем предел, к которому стремится площадь области ?>г, когда г стремится к единице. Так как при возрастании г площадь области Drt выраженная формулой (3), возрастает, то возможны лишь два случая:
Рассматривая сначала первый случай, покажем, что ряд 2 п I ап I2 схо- п=2 оо дится. В самом деле, сумма ряда 2 Пап'г*п ограничена при 0<г< 1, п=2 потому что она согласно условпю, возрастая, стремится к конечному пределу. . 00 Предполагая, с другой стороны, ряд 2 п I ап I2 расходящимся, мы придем п=2 00 к противоречию с условием ограниченности ряда 2 л|я„|аг*л# л=2 Действительно, разность между суммами л — 1 первых членов в обоих рядах равна
Полагая 1 — г = ^, покажем, что Зя ограничено, каково бы ни было п. Для этого заметим, что откуда найдём:
, 1 и, внося 1 — г = — , получим: ![]() Следовательно, Ьп заведомо меньше суммы последнего ряда, который сходится, потому что ап ограничены в своей совокупности вследствие ограниченности выражения (3) при 0 < г < 1. Итак, если бы 2 |д, |* ... + п | ап |а неограниченно возрастало вместе с л, то же самое было бы и для выражения 2 |* г4 +...+л 1 апггг* , где г = = 1 — 7J—j, а значит, и подавно сумма ряда
неограниченно возрастала бы, когда г = 1 — стремится к единице, что 2Л противоречит условию. Итак, в рассматриваемом нами случае 1), когда область D имеет конеч- 00 ную площадь, ряд 2 Пап% сходится. Поэтому мы имеем (гл. И, § 3, п. 7): в=2 ![]() Переходя к пределу при г -+ 1 в выражении (3), представляющем площадь области Вг мы, следовательно, для площади области D получим значение
Что касается случая 2), когда область D имеет бесконечную площадь, то и здесь формуia (5) для площади области D остаётся в силе, так как в этом со случае входящий в неё бесконечный ряд 2 п ап1 расходится. Действи- п=2 . ос тельно, при сходимости ряда 2 Пап5 выполнялось бы соотношение (4) и, я—2 значит, выражение (3) стремилось бы к конечному пределу, когда г-*-1; этот предел в силу определения равен величине площади области D, что находится в противоречии с гипотезой бесконечной площади области D. Итак, мы полностью доказали следующее предложение, известное под именем внутренней теоремы площадей. lcau w=f(z) = z-- аг*2 +... есть нормированная функция, голоморфная в круге | -г | < 1, то она выполняет конформное отображение круга |*| <1 на область D (вообще говоря, многолистную) с площадью, определяемой формулой (5). В частности, отсюда вытекает, что среди всего семейства функций /(г), удовлетворяющих условиям теоремы площадей, минимальное по площади отображение выполняет лишь функция w = z, т. е. минимум площади отображённой области D достигается, когда D совпадает с первоначальной областью — единичным кругом. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|