Проблема коэффициентов

Чтобы получить верхние границы модулей коэффициентов разложения функции, голоморфной в круге |г|<1, однолистной в этом круге и нормированной, нам необходимо'установить два вспомогательных предложения* известных под названием внутренней и внешней теорем площадей.

Внутренняя теорема площадей.

Пусть

функция, голоморфная в круге |*|<1. Рассмотрим круг |2r|^r(r< 1) и область D_r которая получается р результате отображения этого круга с помощью функции w=f(z). Вообще говоря, если данная функция не яв_ ляется однолистной, область L)_r будет многолнетной. Наша задача состоит в том, чтобы определить величину площади этой области D_r Эта последняя выражается интегралом:

и, таким образом, вопрос сводится к вычислению этого интеграла.

Заметим, что |/' (С) |* = /' (С) /' (С), получаем:

Выполняя оставшуюся квадратуру, получаем для площади области D_r следующее значение:

По определению за площадь области D, получаемой в отображении круга |2r|< 1 с помощью функции w=f(z), мы примем предел, к которому стремится площадь области ?>_г, когда г стремится к единице. Так как при возрастании г площадь области D_rt выраженная формулой (3), возрастает, то возможны лишь два случая:

• 1) площадь области D_r, т. е. выражение (3), при г-*- 1 стремится к определенному конечному пределу, который и будет величиной площади области D.
• 2) площадь области D_r, т. е. выражение (3), при г -? 1 неограниченно возрастает, в этом случае площадь области D бесконечна.
• 00

Рассматривая сначала первый случай, покажем, что ряд 2 ^п I ^ап I² схо-

п=2 оо

дится. В самом деле, сумма ряда 2 ^Пап'^г*^п ограничена при 0<г< 1,

п=2

потому что она согласно условпю, возрастая, стремится к конечному пределу.

. 00

Предполагая, с другой стороны, ряд 2 ^п I ^ап I² расходящимся, мы придем

п=2

00

к противоречию с условием ограниченности ряда 2 л|я„|^аг*л_#

л=2

Действительно, разность между суммами л — 1 первых членов в обоих рядах равна

Полагая 1 — г = ^, покажем, что З_я ограничено, каково бы ни было п. Для этого заметим, что

откуда найдём:

, 1

и, внося 1 — г = — , получим:

Следовательно, Ь_п заведомо меньше суммы последнего ряда, который сходится, потому что а_п ограничены в своей совокупности вследствие ограниченности выражения (3) при 0 < г < 1.

Итак, если бы 2 |д, |* ... + п | а_п |^а неограниченно возрастало вместе с л,

то же самое было бы и для выражения 2 |* г⁴ +...+л 1 а_п^гг^г* , где г =

= 1 — 7J—j, а значит, и подавно сумма ряда

неограниченно возрастала бы, когда г = 1 — стремится к единице, что

2Л

противоречит условию.

Итак, в рассматриваемом нами случае 1), когда область D имеет конеч-

00

ную площадь, ряд 2 ^Пап^% сходится. Поэтому мы имеем (гл. И, § 3, п. 7):

в=2

Переходя к пределу при г -+ 1 в выражении (3), представляющем площадь области В_г мы, следовательно, для площади области D получим значение

Что касается случая 2), когда область D имеет бесконечную площадь, то и здесь формуia (5) для площади области D остаётся в силе, так как в этом

со

случае входящий в неё бесконечный ряд 2 ^{п а}п¹ расходится. Действи-

п=2 . ос

тельно, при сходимости ряда 2 ^Пап⁵ выполнялось бы соотношение (4) и,

я—2

значит, выражение (3) стремилось бы к конечному пределу, когда г-*-1; этот предел в силу определения равен величине площади области D, что находится в противоречии с гипотезой бесконечной площади области D.

Итак, мы полностью доказали следующее предложение, известное под именем внутренней теоремы площадей.

lcau w=f(z) = z-- а_г*² +... есть нормированная функция, голоморфная в круге | -г | < 1, то она выполняет конформное отображение круга |*| <1 на область D (вообще говоря, многолистную) с площадью, определяемой формулой (5).

В частности, отсюда вытекает, что среди всего семейства функций /(г), удовлетворяющих условиям теоремы площадей, минимальное по площади отображение выполняет лишь функция w = z, т. е. минимум площади отображённой области D достигается, когда D совпадает с первоначальной областью — единичным кругом.