Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Внешняя теорема площадей.

Предложение, носящее название внешней теоремы площадей, заключается в следующем: если

есть функция, однолистная в области | Г | > 1 и голоморфная всюду в этой области, за исключением бесконечно удалённой точки, где она имеет простой полюс, то

Эго предложение называют теоремой площадей, потому что оно представляет аналитическое выражение для следующего очев-идного геометрического факта.

Однолистное отображение внешней части единичного круга |С|>1, выполняемого помощью функции 'да=<р (С), оставляет непокрытым множество точек плоскости а/, площадь которого больше или равна нулю.

Из этого геометричёского пояснения немедленно вытекает способ доказательства.

Проще всего провести доказательство так: окружность |?|=г, г>1 отображается в замкнутую правильную аналитическую кривую, уравнение которой будет w = w (б) = <р {геП), если положить С = /Л

Вычислим площадь А конечной области, ограниченной этой кривой, полагая w = u-- iv:

Производя вычисления и замечая, что в результате интегрирования пропадут все члены, которые содержат е** в целой степени, отличной от нулевой.

получим:

Очевидно из геометрических соображений, что А > 0, т. е.

со

Поступая, как в п. 1, мы убедимся, что ряд 2 Пап2 сходится, и перехо-

л=1

дом к пределу при г -*? 1 из неравенства (6) найдём:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>