Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Верхняя граница для модуля коэффициента при z2 в разложении однолистной функции.

Пусть w = f (z) = za >z2 /выполняет однолист- ное отображение круга |z|< 1. Тогда легко показать, что

выполняет также однолистное отображение круга z < 1. Для этого докажем, что если F{z) = F{z2)t то необходимо z =z2.

В самом деле, из равенства F(zi) = F(z2) следует: [^to)]2 = [^(г*)]2 или f(Zj*) = f(Zx2). Так как f(z) — однолистная функция, то из последнего равенства вытекает: z{* = г2гу т. е. либо zx = z2t либо zl = — z2. Последняя же гипотеза противоречит условию F(z]) = F(z2), потому что вследствие нечётности функции F(z) имели бы при этой гипотезе F(zi) = — F(z2). Таким образом, F(z) — действительно однолистная функция в круге |z|< 1.

Возможно то же самое обнаружить и другим путем. Посредством функции г3 круг |z|< 1 переходит в'двухлистный единичный круг с точкой разветвления при z = О, затем с помощью /(г1) этог последний отображается на область, таким же образом разветвлённую вокруг z = 0. Наконец, при переходе к Vf U2) это разветвление устраняется.

Очевидно, что функция Ф (С) =-у-— однолистно отображает внешнюю

область единичного круга | С | > 1 и имеет следующее разложение, справедливое при | С | > I:

Согласно внешней теореме площадей (п. 2) имеем: -i-1 аг ^ 1, откуда | а21 ^2.

Итак, мы доказали предложение: если w = z -f a2z3-f-... есть функция, голоморфная и однолистная в круге | z < 1, то | аг | ^ 2.

Замечательным фактом является то обстоятельство, что эта граница не может быть улучшена. Действительно, она достигается функцией

так как последняя функция отображает однолистно круг |г|<1 на область полная граница которой образована из сегмента действительной оси между — и — оо.

Чтобы это показать, достаточно вместо f (z) = —yJL— рассмотреть функцию ?(С) = —/ ' = “—j“~“ = С + -j-г~ 2 и обнаружить, что она одно-

f~) т

листно отображает | С I > 1 на область, полная граница которой образована из сегмента действительной оси между—4 и 0, что было уже показано в гл. XII, § 5, п. 3.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>