Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема искажения.

Перейдём теперь к рассмотрению так называемой теоремы искажения. Пусть снова

в круге | z | < 1 голоморфна и однолистна. Образуем выражение:

' 1 -f- Cz/

которое, если его рассматривать как функцию С, будет представлять функцию голоморфную и однолистную в единичном круге |С|<1, потому что линейное преобразование ^~г?- переводит взаимно однозначно единичный круг

1 -f-Cz

сам в себя. Нормируя это выражение, рассмотрим функцию:

голоморфную и однолистную в круге | С | < 1, обладающую разложением в степенной ряд:

По формуле Тейлора для коэффициента-^ получим:

Так как в силу п. 3 имеем: 1Ы^2, то | zz)~ - 2z | sg, 4. Разделив откуда следует: или

Заметив, что

из последнего неравенства (7) найдём:

или по сокращении на z и замены R f(z)*= f{z):

Наконец, интегрируя неравенство (8) в пределах от 0 до | z |, найдём:

Таковы нижняя и верхняя границы, между которыми заключён f(z). Эти

z

границы наилучшие, так как они достигаются функцией ^ , производ-

„ 1 “Н z

ная которой равна --

» V*

Неравенства (9) выражают собой так называемую теорему искажения (Verzeiungssatz). Она показывает, что, какова бы ни была голоморфная и однолистная в круге I z | < 1 функция f(z), нормированная вначале координат, изменение масштаба в точке z при отображении с помощью этой функции заключено между конечными числами, зависящими только от z.

Вместо неравенства (9) теорему искажения возможно представить в несколько иной форме.

Так как f'(z) в круге | -гг | < /• < 1 не имеет нулей, то минимум и максимум её модуля для | z | ^ г достигаются на окружности (z| = r. Следовательно, из неравенства (9) следует:

Наконец, если z и z2 — две точки круга |г|^г, то имеем: откуда получим:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>