Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема вращения.

Из установленного в п. 5 неравенства:

где f(z) — нормированная голоморфная и бднолистная функция в единичном круге г< 1, получаем:

Заметив, как это было уже отмечено в п. 5, что

мы найдём: потому что

Таким образом, мы имеем:

Производя интегрирование относительно z, получим теорему вращения:

?

Это предложение представляет собою естественное дополнение к теореме искажения, гак как оно регулирует изменение направлений при однолистном отображении.

Общая граница для модулей коэффициентов в разложении однолистной функции.

Возвратимся снова к функции f{z), голоморфной и однолистной в единичном круге |г|<1, предполагая её нормирванной посред- с гвом условий: /(0) = 0, f (0) = 1:

При любом г(г< 1) имеем: и, значит,

9

где положено г=р2. Далее имеем:

Полагая F (С) =V / (С2), С = pety = }fr е^> перепишем (18) в виде:

Пусть теперь

Тогда (19) можно представить так:

Подинтегральная функция в последнем интеграле, очевидно, равна площади области, получающейся в отображении круга |?|^р с помощью функции F (О, делённой на гр (п. 1). Заметив же, что площадь этой области заведомо не превосходит площади круга радиуса, равного максимуму |^(С)| для круга | С | ^ р, получаем:

Так как /7(С) = V /(С2) и по теореме п. 6 l/(C2)K,f то

(I — Р*г

После этого неравенство (20) запишется так:

или в силу равенству р=Уг:

Так как г —любое число, меньшее единицы, то, полагая в частности получим:

потому что при любом п(п^ 2)

Полученное неравенство | ап | < еп показывает, что модуль каждого коэффициента в разложении однолистной функции имеет постоянную верхнюю границу, не зависящую от вида функции, при условии её нормирования в начале координат.

Еще не доказано, хотя имеются все основания предполагать, что ап п>

00

так что и здесь границы достигаются функцией jy-—пгП- & этом

л—1

направлении, кроме результата п. 3, установлено, что | ап | ^ и, если вес коэффициенты — действительные числа.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>