Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Границы выпуклости и звездообразности

Граница выпуклости.

Обратимся к геометрическому истолкованию1 неравенства (7», установленного в § 1, п. 5 для однолистных, голоморфных ь единичном круге нормированных функций:

Мы достигнем этой геометрической интерпретации, если рассмотрим отображение окружности |г|=г. Угол положительного направления касательной

к окружности | z 1 = г в точке z = reh есть -f- ?• В отображённой точке

J{z) касательная к отображённой кривой имеет направление т = -f- tp -(-

dx

-f- argf(z). Заметив, что кривизна линии есть^=^-, продифференцирует©

ем т относительно С другой стороны,

9

и, значит,

потому что in/'(*)== In |/'(z)|-f iargfiz). Таким образом, имеем:

Знак совпадает со знаком кривизны линии отображения, потому что ^

d ds df

отличается от кривизны лишь положительным множителем^. Следовательно

выражение --R имеет знак, совпадающий со знаком кривизны

линии отображения.

С другой стороны, вследствие неравенства (7) имеем:

Если теперь выражение, стоящее в левой части последнего неравенства, положительно для |z|=r, то это по предыдущему означает, что отображение окружности г =г есть выпуклая кривая.

Простым вычислением мы убеждаемся, что для | z | < 2 —У~Ъ =0,26... выражение правой части нашего неравенства всё время положительно, в то время как при z | > 2 — У~Ъ отрицательно. Поэтому при каждом однолистном отображении f{z) круга z < 1 круг z <2 — У Ъ отображается на выпуклую область. Существует случай, когда именно круг | z | < 2 — У 3 отображается выпукло и никакой больший с ним концентрический уже не

отображается выпукло. Это будет в случае функции t что легко можно

проверить вычислением. Найденное число 2 — У 3 представляет, таким образом, иаилучшую границу выпуклости для всего семейства однолистных в единично.» круге и нормированных функций.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>