Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального вида

Звездообразные и выпуклые функции.

Всё, что было установлено в § 1, п. 4, 5, 6 относительно произвольных однолистных функций, и подавно будет справедливо для частного случая, когда функция семейства (S):

даёт однолистное конформное отображение круга | z | < 1 на звездообразную область. С другой стороны, установленные границы достигаются, как мы

видели, функцией ^ — ₂)² ’ ^дающе“ отображение круга | z | < 1 на звездообразную область. Поэтому эти границы будут наилучшими и для рассматриваемого теперь класса функций.

Полагая теперь / (z) = zF¹ (z) и замечая, что

мы заключаем:

Так как положительный знак левой части характеризует звездообразность отображения с помощью функции /(z), а положительный знак правой части- выпуклость отображения с помощью функции F(z), то отсюда заключаем, что круг |*| <1 посредством /(z) отображается на звездообразную область только в том случае, если этот круг посредством F(z) отображается на выпуклую область, причём f(z) и F(z) связаны соотношением:

Отсюда найдём немедленно точные границы теоремы искажения для выпуклых функций (К). Таким образом, в силу п. 6 получаем:

или

Границы для модуля выпуклой функции получим, аналогично п. 6, посредством интегрирования неравенства (22):

Найденные границы (22) и (23) являются наилучшими для выпуклых функций F{z). Действительно, они достигаются функцией w = ^ , которая даёт выпуклое отображение круга |*|<1. Она отображает круг |г|<1 на полуплоскость Rxv > —-J* Из ^лево* части неравенства (23) при г -*? 1 найдём, что граница выпуклого отображения круга | г < 1 отстоит от начала координат на расстоянии, по крайней мере равном -g-. Последняя константа

является точной, так как она достигается функцией w = j-—