Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Экстремальные свойства функции, отображающей область на круг

Лемма.

Задача этого пункта — доказать следующее вспомогательное для дальнейшего предложение: если ?(z) есть функция, голоморфная в круге J z | < р, то, полагая z = ге^, имеем, каково бы ни было г, 0 < г < р:

причём равенство достигается только в случае ?(*) = const.

Сначала рассмотрим случай р = 2. Из разложения Тейлора, имеющего место внутри круга z | < р:

получаем:

Это выражение, очевидно, больше или равно | ciqJ 2 = | (0) I2, причём равенство имеет место только, если <р(гг) = а0.

Если р — любое число, то рассмотрим функцию [? {z)]ph; если ?(*) нс имеет нулей внутри круга, то arg р будет однозначен, и различные ветви функции ?р/збудут однозначны. Выбирая одну из них, будем иметь функцию ур1 г> голоморфную в круге | z | < р. Достаточно тогда приложить лемму к этой функции и показателю 2, чтобы распространить её на рассматриваемый случай относительно ? (z), Таким образом, лемма установлена при любом р, если*р не имеет нулей внутри круга.

Переходим теперь к случаю, когда ? имеет нули внутри круга |*|<р. Л1ы можем предполагать, что ?(0)ф0, потому что в этом случае справедливость леммы очевидна. Рассмотрим круг радиуса г(г< р); если внутри него мет нулей функции ?(*). то для этого радиуса г предложение будет установлено, если приложить рассмотренный случай к кругу z Если имеются нули внутри круга |z|2, • • .» лп, отметив каждый столько раз, какова его кратность. Заметим, что если д'ь а12,...» ап'—точки, симметричные с ль д2, ..., ап относительно окружности z = r, то функция

лринимает на этой окружности значения, имеющие модуль, равный Следовательно, функция

голоморфна и не равна нулю в круге |zlz | = г значения того же модуля, что и <р (z).

В силу леммы, установленной для ^ {г), .

С другой стороны, т. е.

Таким образом, будет:

и предложение вполне установлено, потому что ? (г), (? (0) ф 0), имеющая нули внутри круга | г | < г, не есть постоянное.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>