Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вторая экстремальная проблема.

Рассмотрим все функции >.(*), голоморфные в ограниченной одиосвязной области Д нормированные в точке г0, т. е. удовлетворяющие условиям:

показать, что интеграл

имеет минимум для единственной функции и определить эту функцию.

Попрежнему пусть w=f(z) выполняет при условиях (29) взаимно одно значное и конформное отображение области D на круг Д: |г| <р, a z = f (w) есть обратная функция. Поступая аналогично п. 1, получим:

или, вводя полярные координаты w — reЛ и полагая найдём:

Полагая <5удем иметь:

?откуда в силу леммы п. 1 получим: и, наконец,

Равенство имеет место только в случае, когда (w) = const. = 1, г. е. откуда

Такова единственная функция, для которой Jp достигает своей нижней границы яр2.

Среднее значение порядка р от | У| есть

/i:p2i/p 2 ip

причём т} = (только для функции Х' = [/'(*)] . Когда неограниченно возрастает, то т^ стремится к единице, и функция стремится к г —zQ.

Если р — 2, то Jp имеет простое геометрическое значение: J9 есть площадь поверхности Римана, получающейся в отображении области D. Заметим, что при р = 2 минимизирующая функция будет:

Итак, среди всех функций, голоморфных в ограниченной области D и нормированных в точке го, существует единственная функция, которая реализует минимум площади поверхности Римана, преобразованной из Z); эта функция выполняет взаимно однозначное конформное отображение области D на круг с центром в начале координат.

Вмтсго того, чтобы искать минимум площади при условиях нормирования функции, возможно по принципу взаимности наложить условие на преобразованную площадь и искать максимум |Х' (20) |. Итак, рассмотрим все функции ji(2), голоморфные в области Д удовлетворяющие условиям ji(z0)=-0, ц'(20)фО и преобразующие область D в поверхность Римана данной площади А. Тогда функция преобразует область D в поверхность Римана

площади, равной -г—,-гг', так как она нормирована в точке z0, то будем

V- Г

иметь согласно предыдущему:

где р — радиус, соответствующий точке z0 и области D. Следовательно, и

Максимум 11»1 (20) | достигается только, если РеализУет взаимно однозначное и конформное отображение области D на круг с центром в начале координат.

Если f(z) означает функцию, нормированную в точке zq, которая выполняет эго отображение, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция ц(2) давала максимум |ц'(*о)1» следовательно, запишется так:

откуда

По условию преобразованная площадь равна А и поэтому С2кр* = А, откуда

|С1=/ 4-

Итак, искомая функция ц (г) будет вида

Функции этой формы осуществляют взаимно однозначное и конформное отображение области D на круг с центром в начале координат и площади А Отсюда вытекает: среди функций ц (2), голоморфных в области D, ц (20) = 0, |i' (20)фО и преобразующих D в поверхность Римана площади А, те функции, которые реализуют максимум |ц'(20)|, выполняют взаимно однозначное конформное отображение области D на круг с центром в начале координат площади А.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>