Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Анализ.

Анализ (поиск плана решения) состоит в установлении соотношений между искомыми и заданными элементами фигуры или между искомыми и заданными фигурами с целью нахождения плана решения.

Этап анализа — подготовительный и наиболее важный этап решения задачи на построение, ибо именно он дает ключ к решению.

На этапе анализа допускают, что задача уже решена, и выполняют от руки чертеж-набросок, в котором искомая и данные фигуры изображаются таким образом, что они находятся в тех отношениях, как это указано в условиях задачи.

На вспомогательном чертеже-наброске следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы она находилась в отношениях, указанных в условии задачи.

Если предварительный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются построить какую- либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которой затем можно воспользоваться для построения искомой. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой вспомогательной фигуры Ф,. Затем подмечают, что построение фигуры

Ф, сводится к построению фигуры Ф2 и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к фигуре Ф,„ построение которой уже известно.

В процессе анализа полезно вспоминать теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говорится в условии задачи.

Для того чтобы полученный в ходе анализа план решения был бы пригоден для возможного более широкого выбора данных, желательно изобразить фигуру на чертеже-наброске в возможно более общем виде, чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение этой задачи.

Если анализ затруднителен и не удается найти план решения, то целесообразно в чертеж-набросок ввести дополнительные фигуры (сделать вспомогательные построения, выполнить то или иное геометрическое преобразование и т.д.). Но во многих случаях именно выбор целесообразных вспомогательных линий представляет основную трудность решения задачи на построение.

Покажем на двух задачах, каким образом проводится анализ и какие вопросы целесообразно поставить при решении задач.

Задача 2.1. Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена и построен ДАВС, у которого ZA — прямой, АВ = с и АС + СВ = d (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Глядя на рисунок, мы видим, что если отрезок ВС отложить на продолжении отрезка АС, то получится точка D, положение которой известно, так как АС + СВ = d. После всего этого учащиеся должны ответить на следующие вопросы.

  • 1. Есть ли на рисунке фигура, которую можно построить? (Есть. ДABD можно построить по двум катетам ВА и AD.)
  • 2. После построения AABD сколько вершин искомого треугольника нам будет известно? (После построения AABD нам будут известны вершины А и В искомого треугольника.)
  • 3. Как можно найти третью вершину ААВС? (Поскольку ABDC равнобедренный, то вершина этого треугольника будет находиться на оси симметрии точек В и D.)

Задача 2.2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена и построен прямоугольный ДАВС (рис. 2.2), у которого ВС = a, AD = ha и ZA = 90°.

Рис. 2.2

Учащиеся должны ответить на следующие вопросы.

  • 1. Есть ли на данном рисунке фигуры которые можно построить? (Есть. Отрезок ВС.)
  • 2. Как можно построить отрезок ВС? (На произвольной прямой откладывается отрезок ВС = а.)
  • 3. После построения отрезка ВС сколько вершин ДАВС будет построено? (После построения ВС будут известны две вершины ДАВС).
  • 4. А как можно найти третью вершину? (Если ученик затрудняется ответить, то нужно задать дополнительный вопрос.)
  • 5. Для нахождения третьей вершины А треугольника АВС сколько нужно данных? (Для нахождения вершины А нужно два условия.)
  • 6. Какие условия не использованы? (Не использовано два условия: прямой ZA; высота ha.)
  • 7. Где должна находиться вершина угла А? (Прямой угол должен опираться на полуокружность, построенную на отрезке ВС как на диаметре, и находиться на расстоянии ha от него.)
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>