Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Инверсия

Определение 4.15. Инверсия относительно данной окружности (О; г), где О — центр, г — радиус окружности, — это отображение плоскости этой окружности с исключенной точкой О на себя, при котором всякая точка М Ф О отображается в точку М' так, что при этом выполняются условия:

  • 1) точка М' принадлежит лучу ОМ;
  • 2) произведение длин отрезков ОМ и ОМ' равно г2, т.е. ОМ ? ОМ' = г2. Окружность (О; г) при этом называется базисной окружностью, или

окружностью инверсии, точка О — центром или полюсом инверсии, число г2 (квадрат длины радиуса окружности) — коэффициентом или степенью инверсии.

откуда происходит другое название

Если г = 1, получим ОМ =-

ОМ'

инверсии: преобразование обратными радиус-векторами.

Если точка М' принадлежит лучу ОМ, о чем говорилось в определении, то инверсию называют гиперболической. Если же точки М'иМ принадлежат противоположным лучам с началом в точке О, то такую инверсию называют эллиптической.

Перечислим основные свойства инверсии.

  • 1. Всякая внутренняя точка окружности (О; г), кроме точки О, отображается во внешнюю точку; при этом чем дальше отстоит от центра точка М, тем больше к центру находится ее образ М'.
  • 2. Прямая, проходящая через центр инверсии, отображается в себя.
  • 3. Окружность инверсии отображается на себя.
  • 4. Всякая прямая, не проходящая через центр, отображается на окружность, проходящую через центр (при этом точка О исключается из окружности); справедливо и обратное утверждение: всякая окружность, проходящая через центр, отображается на прямую, не проходящую через центр.
  • 5. Всякая окружность, не проходящая через центр, отображается на окружность, также не проходящую через центр; при этом центры взаимно инверсных окружностей не являются соответственными точками в заданной инверсии (что имеет место, например, при гомотетии окружности).
  • 6. В инверсии сохраняются углы между линиями, но ориентация фигур не сохраняется, она меняется на противоположную.
  • 7. Всякая окружность, ортогональная к окружности инверсии (напомним читателю, что две окружности ортогональны, если касательные, проведенные к ним в точке касания, перпендикулярны), отображается на себя.

Если вместо окружности взять сферу, то аналогично можно определить инверсию пространства.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>