Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод обратности

Практическое применение этого метода видно из следующих задач.

Задача 6.37. В данный ААВС вписать такой треугольник, стороны которого были бы параллельны сторонам другого данного AKLM.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена (рис. 6.37, а) и AK1L]M1 есть искомый, т.е. K1Ll || KL, L]M] || LM и K1Ml || KM. Так как из чертежа не усматриваем таких конструктивных зависимостей, которые позволяют построить АК1Ь1М1, то превращаем предложенную задачу в обратную.

Рис. 6.37

Обратная задача. Около данного AKLM описать такой треугольник, стороны которого были бы параллельны сторонам другого данного ААВС.

Решить обратную задачу легко: если через вершины К, L, М треугольника KLM проведем прямые, параллельные сторонам данного треугольника АВС (рис. 6.37, б), то эти прямые попарно пересекутся в точках А', В', С, и получим ДА'В'С' описанный около AKLM.

Но если стороны одного треугольника параллельны сторонам другого, то такие треугольники подобны, а потому ДАВС ~ ДА'В'С', AK1L1M1 ~ AKLM, ААК]М1 ~ АА'КМ и т.д.

Из подобия этих треугольников вытекает, что точки К, L, М треугольника А'В'С' являются сходственными точками подобного треугольника АВС. Отсюда следует, что АКХ : А'К = АВ : А'В'. Три члена этой пропорции — А'К, АВ и А'В' — нам известны (АВ — из условия задачи, А’К и А'В’ — по построению), а потому можем определить четвертый член АКХ.

Как только будет найден отрезок АКЬ то можем на стороне АВ отметить положение точки Кх. Для этого надо на стороне АВ от точки А отложить отрезок, равный найденному значению AKV Далее, чтобы закончить требуемое построение, достаточно из точки Кх провести прямые KXS и КХТ, параллельные сторонам KL и КМ треугольника KLM. Прямые KXS и КХТ пересекут стороны треугольника АВС в некоторых точках Lx и Мх.

Соединив Кх с точками L} и М,, получим искомый AKlL1M1.

Построение. 1. Через точки К, L, М проводим прямые, параллельные сторонам треугольника АВС, и получаем ДА'В'С', описанный около AKLM.

  • 2. Точку Кх треугольника АВС, сходственную точке К треугольника А'В'С', определяем (известным построением) из пропорции АКУ: А'К = = АВ:А'В'.
  • 3. На стороне АВ от точки А откладываем найденный отрезок AKV
  • 4. Из точки Кх проводим прямые, параллельные сторонам KL и КМ AKLM. Эти прямые пересекут стороны ДАВС в точках L, и М,.

AKjLjMj — искомый.

Исследование. Так как, во-первых, через каждую из трех несовпадающих точек плоскости всегда можно провести прямые, параллельные сторонам треугольника, лежащего в той же плоскости, и получить подобный ему треугольник и, во-вторых, треугольники АВС и KLM нам даны, а значит, существуют и подобные им треугольники А'В'С' и K1LlMl, то приходим к выводу, что всегда возможно осуществить требуемое построение.

Задача 6.38. В данный ДАВС вписать треугольник, подобный данному AKLM, так, чтобы одна из его вершин (К) лежала в точке Р, данной на основании АВ (рис. 6.38).

Решение

Рассмотрим задачу, обратную данной.

Обратная задача. Описать около данного AKLM такой ДА'В'С', который подобен ААВС, причем его сторона А'В' проходит через точку К и делится ею в отношении АР : РВ.

юз

Рис. 6.38

Анализ. Допустим, что чертеж (рис. 6.39) представляет собой решение обратной задачи.

Рис. 6.39

Из точки А' отрезок KL виден под утлом а. Геометрическим местом таких точек является дуга сегмента, который построен на отрезке KL и вмещает угол а. Аналогичное замечание можем сделать о положении точки В': она находится на дуге сегмента, построенного на отрезке КМ и вмещающего угол р. Нам надо через точку К провести такую прямую, чтобы А'К : КВ' = АР : РВ. Это построение мы можем выполнить. Затем, проведя через точки МиВ' прямую до пересечения в некоторой точке С с прямой, проходящей через точки L и А', получим АА'С'В', представляющий собой решение обратной задачи.

Чтобы получить решение прямой задачи, достаточно на стороне АВ при точке Р построить угол APS', равный углу A'KL, и угол ВРТ, равный углу В’КМ, а затем соединить прямой точки S и Г, в которых прямые PS' и РТ' пересекают стороны АС и ВС. Действительно, APST — искомый: он подобен треугольнику KLM, вписан в ААВС и имеет одну из вершин в точке Р.

Задача 6.39. В данный сектор ОАВ вписать квадрат, две вершины которого находятся на дуге данной фигуры, а третья и четвертая вершины — на боковых сторонах (рис. 6.40).

Рис. 6.40

Решение

Превратим предложенную задачу в обратную.

Обратная задача. Около квадрата описать сектор, подобный данному, причем так, чтобы дуга сектора прошла через две вершины квадрата, а боковые стороны сектора — через третью и четвертую вершины квадрата.

Построение, относящееся к обратной задаче, таково (рис. 6.41).

Рис. 6.41

  • 1. Строим какой-нибудь квадрат KLMN.
  • 2. Проводим прямую Р:Р2 через середины двух противоположных сторон квадрата KL и MN.
  • 3. Через точку К проводим прямую К}К2, образующую с прямой Р}Р2 угол КРР2, равный половине угла данного сектора, т.е. ZKPP2 =—ZAOB.
  • 4. Проводим прямую LXL2 через точки Р и L.
  • 5. Около точки Р радиусом, равным PN, чертим дугу ST между сторонами ZK2PL2.

Обратная задача решена: сектор PST подобен данному сектору ОАВ (см. рис. 6.41) и описан около квадрата.

Чтобы перейти к решению прямой задачи, рассуждаем так: в каком отношении точка L рассекает сторону РТ сектора PST, в таком же отношении вершина С квадрата, вписанного в сектор ОАВ, рассечет сторону ОБ.

Отсюда ясно, как можно выполнить построение, требуемое в прямой задаче.

  • 1. Сторону ОБ данного сектора делим в отношении PL : LT, т.е. находим такую точку С, чтобы ОС : СВ = PL : LT.
  • 2. Из точки О радиусом, равным отрезку ОС, делаем засечку D.
  • 3. Соединив точки С и D, получим сторону квадрата, вписанного в сектор ОАВ.
  • 4. На стороне CD строим искомый квадрат CDEF.

Задача 6.40. Построить треугольник, равный данному AKLM, так чтобы его вершины лежали на трех данных прямых ОА, ОБ и ОС, выходящих из одной точки (рис. 6.42).

Рис. 6.42

Решение

Предварительно решим обратную задачу.

Обратная задача. Найти такую точку, чтобы прямые, выходящие из нее, проходили бы через вершины AKLM и образовывали бы между собой углы, равные ZAOB и ZBOC.

Анализ. Предположим, что требуемое построение выполнено (рис. 6.43) и точка О' удовлетворяет этому требованию, т.е. ZLO'K = = ZAOB и ZLO'M = ZBOC, отрезок KL виден из точки О под углом а, а отрезок LM — под углом (3.

Рис. 6.43

Построение. 1. Строим на отрезках KL и LM сегменты, вмещающие соответственные углы а и (3. Пересечение дуг этих сегментов определит положение точки О'.

2. Из точки О' через точки К,ЬиМ проводим прямые О'А', О'В', О'С и получаем решение обратной задачи.

Переходя к предложенной задаче, построение заканчиваем следующим образом.

  • 3. Из точки О на прямых ОА, ОВ и ОС раствором циркуля, равным О'К, O'L и О'М, делаем засечки Кь Lb и Мх.
  • 4. Соединив точки Кь и Мх получим решение прямой задачи, а именно AKlL1M1, который равен данному AKLM и имеет вершины на данных прямых ОА, ОВ и ОС.

Задача 6.41. В данный сектор вписать правильный треугольник, стороны которого заданы.

Решение

Вместо того чтобы в данный сектор вписывать треугольник, равный данному, поступим наоборот — около данного треугольника опишем сектор, равный заданному. Построение здесь достаточно очевидно. Рассмотрим правильный треугольник АВС с заданной стороной (рис. 6.44). Построим на стороне АС во внешнюю сторону к треугольнику дугу окружности, такую что углы, соответствующие этой дуге, равнялись бы углу данного сектора (ZAMC = а, где М — точка на дуге).

Рис. 6.44

Затем построим окружность с центром в точке В и радиусом, равным радиусу данного сектора. Пусть О — одна из точек пересечения построенных дуги и окружности. Взяв О в качестве центра сектора, описанного около треугольника АВС, легко построить сектор.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>