ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ И МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Введение Функционалы. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления Вариации кривых и функционаловМетод вариаций — подход Эшера—Лагранжа в простейшей задаче. Уравнение Эйлера—Лагранжа в дифференциальной формеЛемма Лагранжа.Доказательство леммы.Преобразование и лемма Дюбуа—РаймондаЛемма Дюбуа—Раймонда.Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера—Лагранжа Необходимое условие Лежандра слабого минимума функционала Необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума функционала О некоторых проблемах классического вариационного исчисления Задача о поверхности минимальной площадиЗаключение к разделу 1 ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Введение Первая вариация функционала в задаче с подвижными концами Форма Гамильтона для уравнений Эйлера—Лагранжа Понятие поля экстремалей и трансверсали Теорема Гильберта и еще один взгляд на неравенство ВейерштрассаГеометрический смысл функции ВейерштрассаЕще один взгляд на вариационную задачу с подвижными концами Задачи с негладкими экстремалями и условия Вейеригграсса—ЭрдманнаЗаключение к разделу 2 РАСШИРЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯЗ.1 Введение Изопериметрическая задача Простейшая задача Лагранжа Общая задача Лагранжа и задачи Лагранжа—Больна и Майера Задачи со старшими производнымиЗаключение к разделу 3 КВАДРАТИЧНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА Введение Квадратичный функционал и вторая вариация Еще один взгляд на условие Лежандра Сопряженные точки и необходимое условие Якоби Достаточные условия слабого минимума Условие Якоби и положительно определенная конечномерная квадратичная формаЗаключение к разделу 4 ТЕОРИЯ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО МИНИМУМА Введение Общее понятие поля О методе прогонки Поле функционала Геометрический вывод уравнения Якоби Достаточные условия Вейерштрасса сильного экстремума Сводка необходимых и достаточных условий слабого и сильного экстремумовЗаключение к разделу 5 Введение О необходимых условиях в простейшей задаче вариационного исчисленияПостановка простейшей задачи вариационного исчисления для функции двух независимых переменныхУравнение Эйлера—ЛагранжаУсловие Лежандра и неравенство ВейерштрассаНеравенство Вейерштрасса Задачи с подвижными границами и негладкие экстремалиУсловия Эрдманна—Вейерштрасса на линии изломаЗадачи с функционалами общего вида Пространственные вариационные задачи с ограничениямиИзопериметрическая задачаЛагранжа—КольцаЗаключение к разделу 6 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ Введение Развитие теории оптимального управления и ее связь с вариационным исчислением Примеры задач оптимизацииПервая вариация в пространственной задачеУсловие Вейерштраеса в пространственной задаче Некоторые дополнительные сведения из математического анализа Принцип максимумаЗаключение к разделу 7Библиографический список к разделу 7 ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Введение Градиентный метод первого порядка решения задач вариационного исчисления Метод Ньютона для численного решения задач вариационного исчисления О численном решении изопериметрической задачи вариационного исчисления Метод Ньютона в задаче оптимального управления и двухточечная краевая задачаЗаключение к разделу 8
