Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Введение

В этом разделе мы рассмотрим важнейшие понятия вариационного исчисления: введем понятие функционала и рассмотрим такие важные понятия, как вариации кривых и функционалов. При этом мы будем двигаться примерно тем же путем, которым развивалось вариационное исчисление со времен Л. Эйлера во второй половине XVIII — начале XIX в. Сначала мы построим уравнение Эйлера—Лагранжа — важнейшее необходимое условие экстремума функционала, позволяющее определить подозрительную на экстремум функцию, затем получим необходимые условия А.-М. Лежандра и К. Вейерштрасса, которые разрабатывались с конца XVIII в. по вторую половину XIX в.

Функционалы. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления

Введем понятие функционала и рассмотрим его характерные примеры. Приведем определение:[1]

0.1.1. Функционалом назовем отображение из некоторого множества в числовую ось.

Пример 1.1. Скалярное произведение двух векторов:

есть типичный функционал: отображение из «-мерного пространства Rn на числовую ось R.

Пример 1.2. Задача о кратчайшем расстоянии между точками а и Ь, соединенными кривыми в плоскости (х, у). Это расстояние выражается функционалом:

Таким образом, здесь функционал есть отображение из множества непрерывных кривых, соединяющих две точки, на числовую ось R.

Пример 1.3. Задача о брахистохроне[2]: среди всех кривых в плоскости (х, у), соединяющих точки аий, найти ту, двигаясь по которой, тяжелая точка попадет из а в b за кратчайшее время.

Поставим задачу строго. Примем за ось Ох горизонтальную прямую, а ось Оу направим вниз. При движении с нулевой начальной скоростью из точки (а, 0) в точку b с координатами ь, уь)

Пусть уравнение искомой кривой естьу(х). Тогда скорость движения точки

откуда

Интегрируя последнее соотношение, найдем выражение для полного времени:

Очевидно, что от выбора той или иной кривой зависит время движения Т, т. е. имеем типичный функционал.

Исторически это первая задача вариационного исчисления, сформулированная Г. Галилеем в 1638 г. и решенная И. Бернулли в 1696 г.

Рассмотрим еще один пример постановки вариационных задач с дифференциальными связями. Он относится к характерной задаче авиации, поставленной в первой четверти XX в., когда Рис 1Л- Параметры траектории полета

скорости самолетов были сравнимы со скоростью ветра.

Пример 1.4 (задача Цермело). Определить ту траекторию, по которой должен лететь самолет при наличии ветра так, чтобы попасть из точки А в точку В за кратчайшее время.

Пусть А и В— заданные на плоскости (х, у) точки начала и конца полета (рис. 1.1). Предположим, что скорость ветра w(x, у) — заданная функция, и пустьу(х) — искомая траектория полета самолета, который движется с постоянной скоростью и относительно воздуха. Тогда абсолютная скорость самолета

Обозначим ср и ф углы между векторами w и и и вектором направления полета V

где ds — дифференциал дуги.

или

Таким образом, вновь видим, что время полета определяется характером функции-траекторииу(х), поскольку подынтегральное выражение хотя и не содержит у(х) в явном виде, но без особого

труда к такому виду приводится; напомним, что ds = jdx2 +dy2 =

= ]dx2 +dy2 = y] +y'2dx, a coscp вычисляется по формуле

Тогда окончательно получим

Проиллюстрируем теперь современную формально-строгую постановку простейшей задачи вариационного исчисления. Пример 1.5. Простейшая задача вариационного исчисления:

при

где/: RxR*R-> R — основная функция[3].

Здесь, следуя классическому подходу, полагаем, что функция/ дифференцируема по всем аргументам требуемое число раз. Возникает важный вопрос: откуда или из какого класса (пространства) функций наша искомая функция у(х)? Поскольку мы полагаем, что у нее существует производная у то естественно считать, что она как минимум из С1 а, Ь. Иногда, помня о том, что функционал J зависит от функции у(х), будем писать:

Пример 1.6. Естественно обобщается пример 1.4 для л функций:

Здесь/: R х R" х R"->Rwy.&0[a, b, / = 1, 2,..., л, а/такжедифференцируема требуемое число раз.

  • [1] Здесь и далее определение обозначено сокращенно: О.
  • [2] Брахистохрона (от греч. ррсхуютос — кратчайший, ypovoc — время) —кривая скорейшего спуска.
  • [3] Символ f:RxRxR->R обозначает отображение функции трех переменных на числовую ось.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>