Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Уравнение Эйлера—Лагранжа в дифференциальной форме

Итак, будем оставаться в условиях гладкости по всем аргументам подынтегральной функцииДх, у, у). Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.1. Функционал

дифференцируем, и его дифференциал дается формулой

Заметим, что F(h) есть по нашим предыдущим обозначениям 6У, т. е. 6/ = F(h) (в соответствующих обозначениях).

Для доказательства теоремы 1.1 дадим еще одно определение экстремали и рассмотрим вспомогательную теорему и лемму.

0.1.7. Экстремалью диффсрснцирусмого функционала J(y) назовем такую кривую у(х), на которой F(h, у) = 0 при любом И (точно так же, как в стационарной точке х функции у(х), если в этой точке дифференциал равен нулю).

Теорема 1.2. Чтобы кривая у(х) была экстремалью функционала

на пространстве кривых, проходящих через точки у(а) = уа и у(Ь) = у,,, необходимо и достаточно, чтобы вдоль кривой у{х) выполнялось условие:

Доказательство построим на основе леммы.

Лемма Лагранжа.

Если непрерывная функция Дх), а Ь, такова, что

для любой непрерывной функции h(x), для которой h(a) = h(b) = = 0, тоДх) =0.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>