Преобразование и лемма Дюбуа—Раймонда

Наименование данного пункта подразумевает, что имеется и другая форма уравнения Эйлера—Лагранжа. Действительно, рассмотрим первую вариацию (1.10) функционала, которую запишем в виде

Заметим, что для проведения операции интегрирования по частям нужна дифференцируемость первой производной у '(х), что подчас является избыточным требованием. Обойти это требование, т. е. существование у "(х), можно, используя преобразование Дюбуа—Раймонда, для построения которого введем функцию

Интегрируя второй член по частям, с учетом краевых условий получаем форму Лагранжа для первой вариации функционала:

Тогда

Интегрируя по частям первый член и учитывая краевые условия, найдем вариацию функционала в форме Дюбуа—Раймонда:

Лемма Дюбуа—Раймонда.

Если непрерывная функция N(x), а 4x4 b такова, что

для любой непрерывной функции 0(х), для которой 6(a) =6(Ь) = О, то N(x) - const при a 4x4b.

Доказательство леммы опускаем, отметив, что оно не содержит принципиально новых идей в сравнении с доказательством леммы Лагранжа. Записав необходимое условие экстремума функционала в форме Дюбуа—Раймонда и используя одноименную лемму, получим интегральную форму уравнения Эйлера—Лагранжа:

где С — постоянная.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >