Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера—Лагранжа

Уравнение Эйлера—Лагранжа

играет фундаментальную роль в вариационном исчислении. В общем случае это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, краевые условия к которому в простейшей задаче вариационного исчисления имеют вид

Вместе с тем в ряде случаев оно допускает сведение к уравнению первого порядка или даже может быть проинтегрировано. Рассмотрим эти случаи.

1. Функция Дх, у, у) не зависит от у, т. е./=Дх, у). Здесь уравнение Эйлера—Лагранжа принимает вид:

и, очевидно, имеет первый интеграл:

Это уравнение первого порядка, которое, будучи разрешенным относительно у', имеет вид (С — постоянная):

2. ФункцияДх, у, у) не зависит отх, т. е./=Ду у). Здесь уравнение Эйлера—Лагранжа приобретает вид:

умножая это уравнение на у', получим выражение вида

откуда получаем первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа:

3. Функция Дх, у, у) не зависит оту т. е./= (х, у). Здесь уравнение Эйлера—Лагранжа имеет «конечный» вид:

т. е. не является дифференциальным.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>