Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Необходимое условие Лежандра слабого минимума функционала

Предположим, что мы нашли решение уравнения Эйлера—Лагранжа — некоторую функцию у(х). В общем случае нет гарантии, что найденная у(х)будег минимизирующей кривой. Действительно, как мы помним, уже при поиске минимума функции одного переменного условие dy/dx = 0 не гарантирует, что мы находимся в точке минимума функции, так как это, например, может быть точкой ее перегиба.

Наш же случай более сложен, и нам необходимо убедиться, что решение уравнения Эйлера—Лагранжа действительно дает минимум функционала. Для этого нужно рассмотреть окрестность найденной кривой, т. е. исследовать близкие к ней кривые, иначе говоря, рассмотреть допустимые вариации.

Сначала рассмотрим слабые вариации, о которых упоминали в связи с определением слабого минимума функционала (см. 0.1.3). Здесь 6у и бу'малы, или, в терминах близости по Чебышеву, все допустимые кривые и их первые производные близки к экстремали у*(х) и ее производной, т. е. шах (|у(х)-у»(х)|, |у'(х)-у'»(х)|)малы.

а<х<Ь

Это близость первого порядка. Отметим, что исходя из этого можно определить и близость к-го порядка:

Ясно, что такая близость отвечает высокой гладкости как семейства функций у(х) и их производных, так и функции у,(х) и ее производных.

Рассматривая полное приращение функционала ДJ (1.8) для слабых вариаций, мы можем ограничиться его первой 6/ и второй б2J вариациями включительно, так как входящие в старшие вариации бУ 6У, б4у, б4у'и последующие малы, т. е.

Но, так как, согласно теореме 1.2.

нам достаточно рассмотреть только вторую вариацию. Вновь обращаясь к формулам (1.8) и избавляясь от вариации by' во втором слагаемом в б2/, запишем вторую вариацию в виде

Предполагая требуемую гладкость (т. е. непрерывность у, у’и f ,),

учитывая краевые условия для допустимых вариаций (1.4), запишем выражение (1.14) для б2У в виде

интегрируем по частям второй член:

Исследуем эту квадратичную функцию при бу->0 и ду'~* 0, выделяя главную часть при предельном переходе с учетом того, что вариации слабые. Для этого рассмотрим допустимые вариации специального вида (рис. 1.4), где 6у = 0 всюду на [я, />], кроме сегмента [Р, /?], причем на х е [Л 01 бу' > 0 и постоянно, а на х е [0, /?] 6у'< 0 и убывает (по модулю). Примем

где е — некоторый малый масштабный множитель.

В согласии с (1.15) б2J принимает вид:

Помня, что на [Р, 0] бу'постоянна и мала, а на [0, Я] бу'~е, и замечая, что при указанном характере «сжатия» промежутка Р— 0 бу ~ е2, оценим каждый из четырех интегралов, используя теорему о среднем:

Специальные вариации при выводе условий Лежандра

Рис. 1.4. Специальные вариации при выводе условий Лежандра

J fy у (5у fdx « /уУ |ср (6у')2 |ср с ~ е2.

На [Q, /?] бУ~е4, d~e, откуда

К'»yydx

= fw —rfv'v 6y. d Ч fyy —rfy-y e e~e •

dx'

dx'

И, наконец,

J /у у (Sy ')2 dx~ f‘y.y. |cp (8y')

,2

У = e2e~e3.

cp

Таким образом, при с -* 0 главная часть выражения для 62У определяется вторым интегралом и принимает вид:

Q

82J = jfyy(8yfdx.

р

С учетом произвольности точки Q, в окрестности которой рассматривается вариация, получаем

fy у>0. (1.16)

Это неравенство Лежандра (1752—1833) слабого минимума функционала. Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема 1.3 (Лежандра). Для того чтобы квадратичный функционал

dfyy’

dx

был неотрицателен, необходимо, чтобы всюду на [а, Ь] выполнялось неравенство:

/v'v^O.

Таким образом, мы получили второе необходимое условие минимума функционала.

Замечание 1.3. Для функционала, зависящего от п функций,

неравенство Лежандра является следствием неотрицательности квадратичной формы:

которая, как и ранее, на основе рассмотрения слабых вариаций сводится к квадратичной форме:

с такой системой неравенств, необходимых для ее неотрицательности:

на всем промежутке а, Ь, на котором заданы экстремали.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>