О некоторых проблемах классического вариационного исчисления

Уже Д. Гильберт обратил внимание на одну проблему в постановке простейшей задачи:

Эйлер и Лагранж полагали, что/«очень» гладкая, а уеС^][а, Ь, но Гильберт на следующем примере показал, что так сужать класс для/и у нет необходимости:

Так как Дх,у) =x^2/iy'², то уравнение Эйлера—Лагранжа таково: f =х^1/3у' = const, откуда у' = СД^2/3 и у„(х) = 1[х. Ноу'(0) не определено, а значит у(х)?С^х[а,Ь]. Однако именно кривая у„(х) = Чх дает минимум. Действительно, выберем

но тогда

Итак, решение — за пределами класса С[а, Ь.

Рассмотрим еще один пример:

где, очевидно, минимум достигается на разрывной функции:

Однако к этому минимуму можно сколь угодно хорошо приблизиться и гладкими функциями (укажите эти функции).

Но еще серьезней следующий пример:

Уравнение Эйлера—Лагранжа здесь имеет вид:

т. е. это кубическое уравнение: у'³ +py' + q = 0, где р = —1, q = = —С Его решение дает формула Тартальи—Кардана:

у_х = А + В или у, = Ах + В = х.

Но это решение не удовлетворяет краевым условиям, тогда как у„ = 0 удовлетворяет, но

При этом условие Лежандра на функциях у,(х) и у,»(х) дает

и условие Лежандра

не выполняется, тогда как нау,,(х) f_yy =4(l-3y^,2) = 4>0, и оно выполнено. Однако функция, построенная на основе у,(х),

является подозрительной на минимум, ХОТЯ И у(х)

Рис. 1.9. Последовательность у_п(х)

<2С'([0, 1]). При этом заметим, что можно построить последовательность {у„(х)}, такую, чтоу_и(х)-*0 равномерно (рис. 1.9), тогда как у'„(х) не сходится ник чему! То есть «решений» — бесконечное множество! При этом каждый член последовательности (у„(х)} принадлежит допустимому множеству и является решением (минимизирует наш функционал).