Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Задача о поверхности минимальной площади

Приведенные в предыдущем пункте примеры показывают существование определенных проблем в постановке простейших задач вариационного исчисления. Здесь мы также обратимся к одной простейшей задаче и на ее примере покажем еще одну трудность решения.

Задача эта связана с определением минимальной площади поверхности пленки, натянутой между двумя колечками (рис. 1.10).

Преобразуем интеграл в (1.22) к более удобному виду:

С учетом осевой симметрии задачи эта площадь выразится таким интегралом:

К постановке задачи о минимальной поверхности

Рис. 1.10. К постановке задачи о минимальной поверхности

Поскольку функционал не зависит явно от х, то в задаче существует первый интеграл:

Обозначая С/2р = /к и проведя интегрирование полученного уравнения, найдем такой неопределенный интеграл:

Этот интеграл можно вычислить, сделав такую замену переменных:

Сравнивая его с предыдущим интегралом, получаем t =х + С0 (знак можем выбрать любой). Таким образом,

При этом требования симметрии по отношению к линии х = О приводят к условию С0 = 0, и итоговое уравнение минимизирующей кривой принимает окончательный вид:

Это уравнение цепной линии — уравнение кривой, которую образует цепь, закрепленная на концах. Но задача, вообще говоря, не решена, поскольку требуется удовлетворить краевым условиям (1.23), которые принимают вид:

Соотношение (1.25) содержит два параметра: Rwa, которые и определяют характер решения задачи. Очевидно, что вид решения задачи определяют точки пересечения графиков линий уравнения (1.25), как это показано на рис. 1.11. И здесь появляется проблема. Решений может быть ни одного или одно или два, в зависимости от взаимного расположения кривых на данном графике. Эти три случая приведены на рис. 1.11. При этом нетривиальная проблема возникает в случае, представленном на рис. 1.11, в; поскольку каждое из получаемых двух решений экстремально, только одно дает минимум площади, тогда как второе дает ее максимум.

Как видим, характер решения, т. е. в конечном итоге существование того или иного решения или вовсе его отсутствие,

К вариантам уравнения

Рис. 1.11. К вариантам уравнения (1.25) в значительной мере определяется исходной геометрией задачи, а именно радиусом колечек R и расстоянием между ними, задаваемым величиной а. При этом интересно рассмотреть крайние случаи, а именно случай, когда значение а мало или, наоборот, велико (при постоянном радиусе колечек R). Попробуйте сделать это самостоятельно в виде упражнения.

Заключение к разделу 1

Итак, важнейшим результатом данного раздела является совокупность необходимых условий, определяющих экстремаль (уравнение Эйлера—Лагранжа) и уточняющих то, каков характер экстремума: слабый (выполнение условия Лежандра) или сильный (выполнение неравенства Вейерштрасса). Подчеркнем, что необходимые условия не гарантируют существования решения.

Также важным результатом является полученное нами выражение для дифференциала функционала J в виде (1.9), которое удобно записать в виде первой вариации функционала:

которая будет служить основой дальнейших важных построений.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>