Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Введение

В разделе 1 мы рассмотрели вариационную задачу в предположении, что допустимые кривые проходят через заданные концевые точки. Очевидно, что, предполагая подвижность концевых точек, мы существенно расширяем постановку задачи, поскольку ищем экстремум в более широком классе функций.

Сформулируем задачу в новой постановке. В классе функций у{х), обладающих непрерывными производными до первого порядка включительно, разыскивается минимум функционала

в предположении, что координаты концевых точек

разыскиваются в процессе решения задачи. Полагаем также, что/, как и ранее, обладает требуемой гладкостью.

Оказывается, что рассмотрение задачи (2.1)—(2.2) не только позволяет нам расширить класс допустимых функций, но и провести очень важные построения, позволяющие по-новому посмотреть на само существо подхода к решению вариационных задач.

Первая вариация функционала в задаче с подвижными концами

Принципиально первая вариация функционала в задаче с подвижными концами нами уже построена. Это соотношение (1.26), приведенное в конце раздела 1:

Ограничимся для начала соотношением (2.3), замечая, что оно является частным случаем первой вариации в задаче с подвижными концами (2.1)—(2.2). Действительно, в (2.3) концевые точки подвижны, но эта подвижность ограничена их перемещением вдоль ординат при х=анх = Ь. Таким образом, при нахождении на экстремали у(х) первая вариация (2.3) принимает вид:

Отсюда, в частности, при произвольных значениях 8у|д. и 5у| получаем

Условия (2.5) являются краевыми для уравнения Эйлера—Лагранжа:

В самом общем случае абсциссы-пределы интегрирования а и b также подвижны. Это требует добавления к (2.3) члена (/8х)| , поскольку подвижность концов приводит к известному выражению для приращения функционала в этом случае:

т. е. здесь необходимо рассмотреть первую вариацию функционала вида

Следует заметить, что вариации бу в последнем члене записаны без учета подвижности границ промежутка [а, Ь, т. е. это Ьу(а) и Ьу{Ь). Подвижность границ промежутка определяется вторым членом в (2.6), содержащим вариации концевых точек бй и ЬЬ (рис. 2.1), и требует установления связи между вариациями абсцисс бй и ЬЬ концевых точек и вариациями by в этих точках.

Варьирование в задаче с подвижными концами

Рис. 2.1. Варьирование в задаче с подвижными концами

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию на примере подвижного правого конца (рис. 2.2). Для отрезков BBt и СС,

где для приращения вариации С, С, за счет подвижности границы, с точностью до малых величин старшего порядка в сравнении с дЬ, получаем С,С2 ~ (у) +6y'(b))6b ~у'(Ь)ЬЬ, откуда следует

Можно заметить, что

Совершенно аналогично для левого конца:

Запишем первую вариацию (2.6) с учетом (2.7) и (2.9):

Выражение (2.11) представляет собой полную вариацию функционала с учетом варьирования как кривой у(х), так и ее концевых точек. Если кривая является экстремалью у»(х), то интегральная часть обращается в нуль и первая вариация (2.11) приобретает вид:

где вариации 6у вычисляются с учетом подвижности концов.

Приравнивая первую вариацию (2.12) нулю, при произвольности всех концевых параметров 6а, 6Ь, 5у|й и 8у|6 получаем следующие условия:

К подвижности концов

Рис. 2.2. К подвижности концов

Если концевые точки перемещаются по заданным кривым (см. рис. 2.1), то, используя соотношения (2.8) и (2.10), первые два уравнения в (2.13) можно переписать в виде

Эти условия называют условиями трансверсальности. В данной форме условия трансверсатьности приобретают особенно наглядный вид, связывая угловые коэффициенты экстремали у' с угловыми коэффициентами ср' и ф' кривых, по которым происходит «скольжение» экстремали в концевых точках.

Абсциссах = а фиксирована, переменна ордината у (а)

Рис. 2.3. Абсциссах = а фиксирована, переменна ордината у (а)

Ордината у(Ь) фиксирована, переменна абсцисса х — Ь

Рис. 2.4. Ордината у(Ь) фиксирована, переменна абсцисса х — Ь

Вообще условия трансверсальности, в зависимости от постановки задачи, могут приобретать различные формы. Рассмотрим для примера два характерных случая. В первом (рис. 2.3) случае предполагаем, что левый конец имеет фиксированное значение абсциссы х =а, тогда как ординатау(а) может перемещаться вдоль вертикали — линии х=а — и ищется в процессе решения задачи; правый конец считаем фиксированным. Здесь вариация б а, как и вариации справа ЬЬ и 8у|й, обращаются в нуль, тогда как вариация 6у|а свободна, и первая вариация (2.12) приобретает вид:

что приводит к условию трансверсальности вида

Во втором случае (рис. 2.4), наоборот, полагаем, что ордината на правом конце фиксирована:у =у(Ь), а абсцисса концевой точки х разыскивается, тогда как левый конец фиксирован, т. е. б а и 5у|а обращаются в нуль. Здесь первая вариация (2.12) такова:

и условие трансверсальности имеет вид:

Выражение для первой вариации (2.12) играет, как мы увидим далее, очень важную роль в вариационном исчислении.

Замечание 2.1. В общем случае первые два уравнения условий трансверсальности (2.13)

определяют положения концевых точек промежутка а и Ь, тогда как вторая пара уравнений

дает нам краевые условия для уравнений Эйлера—Лагранжа:

Замечание 2.2. Сравнивая условия (2.13) с условиями трансверсальности (2.14), укажем на такие обстоятельства. Первые являются наиболее общими условиями и отвечают случаю, когда мы ничего не знаем о характере кривых, по которым «скользят» концевые точки экстремали, тогда как условия трансверсальности (2.14) «привязаны» к кривым ф и ф, по которым происходит «скольжение» экстремали. В последнем случае между вариациями бх и бу согласно формулам (2.8) и (2.10) имеется связь: бу = ф1абх и бу = ф|Лбх. Подставляя эти соотношения в выражение для первой вариации (2.12), получаем условия (2.14).

Именно условия трансверсальности (2.14) в их жесткой привязке к заданным концевым «кривым скольжения» ср и ф традиционно рассматриваются в учебниках по вариационному исчислению, тогда как (и это отмечено ранее) условия f а = 0, f.|4 = 0 рассматриваются исключительно как краевые к уравнению Эйлера—Лагранжа. При этом наиболее общая форма условий на концах (2.13) остается «в тени». Но именно эта форма концевых условий является важнейшей при численном решении вариационных задач, когда мы ничего не знаем о виде функций ф и ф. И здесь важно указать на то обстоятельство, что условия (2.13) нужно рассматривать как предельные для каждого из концов экстремали: {а, у(а)) и (Ь, буф)).

Замечание 2.3. Для функционала, зависящего от п функций одной независимой переменной, выражение для полной вариации получается совершенно аналогично предыдущему и имеет вид:

Условия трансверсальности в этом случае таковы:

Замечание 2.4. Для простейшей задачи Ьа = ЬЬ = 6у|. = 8у|а = О, и выражение для первой вариации (2.11) принимает тот вид, который оно имеет в простейшей задаче, т. е. содержит только интегральную часть. Совершенно аналогично обстоит дело и для функционала, зависящего от п функций.

Замечание 2.5. Подчеркнем, что построенные здесь условия трансверсальности носят характер условий на концах экстремали. Далее мы обобщим понятие условий трансверсальности, введя понятие трансвсрсали.

Пример 2.1. Рассмотрим упругую линию1 длиной /, закрепленную в точке Л и имеющую свободный конец В. Предположим, что к концу приложена нагрузка Р. Определим форму линии, считая ее невесомой.

В предположении, что ось Ох совпадает с проекцией линии, уравнение для ординаты ув точки В будет иметь вид (рис. 2.5):

где 9 — угол касательной к линии в произвольной точке D.

Потенциальная энергия сил тяжести упругой линии в предположении ее невесомости имеет вид:

1 С точки зрения теории упругости мы рассматриваем невесомую упругую балку.

тогда как концевые условия имеют вид:

Потенциальная энергия упругих сил

где с1^_ — кривизна линии; Е— модуль упругости.

ds

Таким образом, полная потенциальная энергия, которая является функционалом в нашей задаче:

Поскольку конец А закреплен, то здесь угол 0 задан: 0 = 0^. На свободном конце В должно выполняться второе из группы условий трансверсальности (2.13), определяющее перемещение точки В по ординате при фиксированной абсциссе:

где f(s, 0, е')= Pgsind + E^^ j ,

Геометрия Рис. 2.6. Форма упругой линии

Рис. 2.5. Геометрия Рис. 2.6. Форма упругой линии

упругой линии при 0/( = О

откуда что означает равенство нулю кривизны упругой линии на свободном конце.

Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид:

Краевыми условиями к этому уравнению являются условия на

dd

левом конце при .9 = 0, 0 = 9, и на правом — при s = /, — = 0. По-

л as

ставленная таким образом краевая задача определяет профиль упругой линии.

Рассмотрим случай, когда 0 , = 0 и уравнение профиля упругой линии у =у(х) близко коси Ох (рис. 2.6). Тогда

где b — абсцисса точки В.

В таком приближении уравнение формы равновесия и краевые условия к нему примут вид:

Отсюда

где постоянные с учетом граничных условий имеют такие значения:

И мы окончательно получаем следующее уравнение формы упругой невесомой линии, нагруженной на свободном конце силой R

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>