Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Форма Гамильтона для уравнений Эйлера—Лагранжа

Как указывалось, выражение для первой вариации (формула

(2.12))

играет важную роль в вариационном исчислении. Напомним, что в этом выражении приведена зависимость поведения первой вариации на семействе кривых в малой окрестности экстремали при условии, что концевые точки, которые обозначим Л(а, у(а)) и В(Ь, у(Ь)), подвижны и определяются в процессе решения вариационной задачи. Таким образом, последнее выражение может быть записано для экстремалиу»(х) и близкой к ней (проварьированной) экстремали у(х) в следующем виде:

Следуя традиционному подходу вариационного исчисления, определим гамильтониан Н(х, у, у') и вспомогательную функцию р(х, у, у') следующим образом:

Тогда, учитывая предыдущее выражение, (2.17) можно записать в форме приращения, которое получает экстремаль у»(х) по отношению к близкой к ней экстремали у(х) в виде

Здесь, например, вариация б а =а,—а, буа =у{а,)—у{а) и т. д.

Поскольку приращение 6У есть малая того же порядка, что и приращение концов экстремали у»(х), то (2.19) есть главная линейная часть приращения, а значит, функция /как функция концевых значений переменных а, уа, Ь, уь обладает полным дифференциалом, вычисляемым по формуле

Но в таком случае

Функция Гамильтона Н(х, у, у') и функция р(х, у, у') играют важную роль в вариационном исчислении, поэтому важно придать уравнениям Эйлера—Лагранжа форму, в которой эти функции фигурируют явно. С этой целью далее используем прием, содержание которого будет видно из дальнейшего. Существо этого приема в том, что наряду с переменными х, у и у'будем рассматривать и переменные х, у и р(х, у, у') =f (х, у, у'). Такой переход к новым переменным возможен, поскольку по теореме об обратных функциях из уравненияр =f(x, у, у) мы можем выразитьу'как функцию х, у и р, так как согласно условию Лежандра[1] f у ^ 0 на [а, Ь]. Тогда исходя из структуры Н(х, у, у') (2.18) при введенных обозначениях получим

Но в переменных х, у, р выражение для dH имеет вид:

откуда

Вспоминая вид уравнений Эйлера—Лагранжа можем записать Или

Систему уравнений (2.24) принято называть гамильтоновой (иногда канонической) формой уравнений Эйлера—Лагранжа.

Из уравнений (2.22)—(2.24) следует, что вдоль экстремали

и если f=f[y, у), т. е. не зависит явно от х, вновь получаем первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа (см. разд. 1.4):

утверждающий, что вдоль экстремали гамильтониан постоянен.

Замечание 2.6. Для функционала, зависящего от п функций одной независимой переменной, выражение (2.22) принимает вид:

и система уравнений (2.24) приобретает вид:

где аналогично (2.18) функция Гамильтона Н(х, у,, у2, ..., уп, У>У2.? ?? •• >Уп) ипфункцийр.(у{2п, у',У2,...,у'„) определяются следующим образом (для краткости записываем у и у'в виде векторов):

  • [1] Мы предполагаем, что условие Лежандра/^,.> 0 выполнено.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>