Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Гильберта и еще один взгляд на неравенство Вейерштрасса

Будем, как и прежде, предполагать, что разыскивается минимум функционала в классе функций у(х), обладающих гладкостью требуемого порядка:

полагая, что координаты концевых точек A{a,y{d)) B(b,y(b))

заданы. Как и ранее, считаем, что/обладаеттребуемой гладкостью иЛх> У> У) ^ 0 для всех значений аргументов.

Пусть у(х) — некоторая экстремаль, соединяющая точки А и В. Предположим, что у(х) можно окружить собственным полем экстремалей {у(х, С)}, покрывающих некоторую область Q при изменении параметра С.

Выберем на исходной экстремали у(х) некоторую точку D с координатами (х, у) и рассмотрим значение нашего функционала на этой экстремали между точками А и D:

Предположим, что координаты точки D получили приращения dx и dy, что приведет к такому приращению функционала dJ:

Здесь мы преднамеренно перешли от вариации функционала 6/ к его дифференциалу dJ, чтобы далее рассматривать полную производную, характеризующую изменение функционада при перемещении концевой точки D.

Согласно формулам (2.17)—(2.21) приходим ктакой окончательной формуле для приращения функционала dJ

Отметим тот факт, что здесь мы пишем и(х, у) вместо у', чтобы подчеркнуть, что подвижность правого конца D приводит (в общем случае) и к изменению углового коэффициента в точке + cbc, у + dy). Тем самым мы переходим к другим экстремалям поля. Еще раз отмстим, что вотличис от формулы (2.19) в (2.28) присутствуют только приращения за счет подвижности правого конца (точки D), поскольку левый конец, т. е. точка А, у нас фиксирована[1]. Вспоминая, что согласно (2.18)

запишем (2.28) в виде

где — — угловой коэффициент исходной экстремали. dx

Таким образом, мы видим, что формулы (2.28) или (2.29) представляют собой полный дифференциал, что приводит нас к следующей теореме.

Теорема 2.1 (Гильберта). Криволинейный интеграл

вдольлюбой кривой у(х), лежащей в области Q, зависит только от концов этой кривой и не зависит от выбора кривой, соединяющей эти концы.

Важно подчеркнуть, что на исходной экстремали у(х)

и подынтегральное выражение в (2.30) принимает вид: / {х,у,у'), а сам функционал превращается в исходный:

Из теоремы Гильберта можно получить неравенство Всйер- штрасса. Действительно, любую экстремаль у(х), лежащую в области Q и соединяющую точки А и В, мы можем окружить полем экстремалей, покрывающим Q. Но тогда в силу теоремы Гильберта, какова бы ни была кривая у Ос), соединяющая точки А и В и принадлежащая Q, получаем

Рассмотрим теперь разность J(y)-J(y), замечая, что

и учитывая, что — — угловой коэффициент касательной к кривой dx

у 6с); и(х, у) — наклон поля в той же точке (х, у) к кривой у Ос):

Но под знаком интеграла стоит именно функция Вейерштрасса, т. е. переходя от криволинейного интеграла к обычным, получим

  • [1] Часто предполагают, что конец А находится на трансверсали и уголмежду экстремалью и трансверсалью конечен. Мы предположили, чтоfix, у, у) * 0, что приводит к тому, что в условии (2.14) ф' — у * 0 в точке А,а значит, угол между экстремалью и трансверсалью действительно конечен.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>