Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Геометрический смысл функции Вейерштрасса

Итак, пусть на экстремалиу(х) имеется точка D с координатами (х, у), от которой перейдем к близкой точке поля D'c координатами (х + dx, у + dy) (рис. 2.10). Предположим также, что через точки D и D'проходят трансверсали поля Г и Г'соответственно, а через начальную точку А — трансвер- саль ГА. Учитывая, что угловой коэффициент отрезка DD'сеть - dy

К геометрическому смыслу условия Вейерштрасса

Рис. 2.10. К геометрическому смыслу условия Вейерштрасса

и заметим, что значение dx

нашего функционала на отрезке новой экстремали между точками D и Д'следующее:

Таким образом, значение исходного функционала от точки А до точки D

получило приращение (в точке D) dy

где и =--угловой коэффициент исходной экстремали в точке Д

dx

тогда как угловой коэффициент новой экстремали в этой точке и. Тогда величина

есть не что иное, как избыток приращения функционала за счет отрезка DD' над значением функционала между трансверсалями, проходящими через точки D и Д. Но

Таким образом, криволинейный интеграл

взятый вдоль отрезка DD', равен «избытку» над значением функционала вдоль кривой между трансверсалями поля Г и Г', проходящими через точки D и D'.

Замечание 2.8. Криволинейный интеграл

называют интегралом Гильберта.

Замечание 2.9. Геометрический смысл неравенства Всйерштрас- са порождает часто встречающееся наименование избыточная функция Вейерштрасса.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>